常微分课后答案第五章

第五章线性微分方程组§5.1存在唯一性定理习题5.11．给定方程组xx0110，21xxx．（*）)a试验证tttusincos)(，tttvcossin)(分别是方程组（*）的满足初始条件01)0(u，10)0(v的解；)b试验证)()()(21tvctuctw是方程组（*）的满足初始条件21)(cctw的解，其中21,cc是任意常数．证明)a01)0(u，10)0(v显然．)(0110sincos0110cossin)(tutttttu，)(0110cossin0110sincos)(tvtttttv，所以tttusincos)(，tttvcossin)(分别是方程组（*）的满足初始条件01)0(u，10)0(v的解．)b2121211001)0()0()0(ccccvcucw，又)(0110)(0110)()()(2121tvctuctvctuctw)(0110))()((011021twtvctuc，所以)()()(21tvctuctw是方程组（*）的满足初始条件21)(cctw的解，其中21,cc是任意常数．2．将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：)atetxxx72，7)1(x，2)1(x；)bttexx)4(，1)0(x，1)0(x，2)0(x，0)0(x；)ctxyyyeyxyxtcos15132,675，1)0(x，0)0(x，0)0(y，1)0(y．（提示：令ywywxwxw4321,,,）解)a设xxxx21,，则21xxx，tetxxxx12272，即与该初值问题等价的一阶方程组的初值问题为．2)1(,7)1(,27,2121221xxextxxxxt)b设xxxxxxxx4321,,,，则21xxx，32xxx，43xxx，ttexx14，则得等价的一阶方程组的初值问题为ttexxxxxxxx14433221,,,，0211)0()0()0()0()0(4321xxxxx．)c令ywywxwxw4321,,,，有t，1001)0()0()0()0()0(4321，为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题．3．试用逐步逼近法求方程组xx0110，21xxx满足初始条件10)0(x的第三次近似解．解10)(0t，110011010)(01tdstt，2210211011010)(ttdsstt，第三次近似解为2213610221311011010)(tttdssstt．§5.2线性微分方程组的一般理论习题5.21．试验证12)(2tttt是方程组xttx22102，21xxx在任何不包含原点的区间bta上的基解矩阵．证明设ttt2)(21，1)(2tt，则由于)(22102221022)(12221ttttttttt，)(22101221001)(2222ttttttt，所以)(,)(21tt都是方程组的解，因而)()()(21ttt是所给方程组的解矩阵．又由于在任何不包含原点的区间],[ba上，0)(det2tt（],[bat），故)(t是所给方程组的基解矩阵．2．考虑方程组xtAx)(，（5.15）其中)(tA是区间bta上的连续nn矩阵，它的元素为)(taij，nji,,2,1,．)a如果)(,,)(,)(21txtxtxn是（5.15）的任意n个解，那么它们的Wronsky行列式)](,,)(,)([21txtxtxWn满足下面的一阶线性微分方程WtatataWnn)]()()([2211．（提示：利用行列式的微分公式，求出W的表达式）；)b解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：ttnndssasasaetWtW02211)]()()([0)()(，],[,0batt．证明)a)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtWnnnnnnnnnnnn)()()()()()()()()()()()(212222111121111txtxtxtxtxtxtxtatxtatxtannnnnnkknknkkknkkknkknnknkknknkknknntxtatxtatxtatxtxtxtxtxtx112112222111211)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(21222211121121222211121111txtxtxtxtxtxtxtxtxtatxtxtxtxtxtxtxtxtxtannnnnnnnnnnnnn)()]()([11tWtatann，所以)(tW是一阶线性微分方程WtatataWnn)]()()([2211的解．)b由)a知，WtatataWnn)]()()([2211，分离变量后两边积分求解得ttnndssasasacetW02211)]()()([)(，0tt时就得到)(0tWc，所以ttnndssasasaetWtW02211)]()()([0)()(，],[,0batt．3．设)(tA为区间],[ba上的连续nn实矩阵，)(t为方程xtAx)(的基解矩阵，而)(tx为其一解．试证：)a对于方程ytAyT)(的任一解)(t必有)()(ttT常数；)b)(t为方程ytAyT)(的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使CttT)()(．证明)a由于)(t是方程xtAx)(的解，故有)()()(ttAt，)(t为方程ytAyT)(的解，故)()()(ttAtT．所以)()()()]([)()()()()()(ttttttttttTTTTT)()()()()]()([ttAttttATTT0)()()()()()(ttAtttAtTT，所以)()(ttT常数．)b“”)(t是方程xtAx)(的基解矩阵，因此)()()(ttAt，)(t是方程ytAyT)(的基解矩阵，故)()()(ttAtT，且0)(dett和0)(dett．所以)()()()]([)()()()()()(ttttttttttTTTTT)()()()()]()([ttAttttATTT0)()()()()()(ttAtttAtTT，故)()(ttT是常数矩阵，设CttT)()(，则0)(det)(det)(det)(det)]()(det[detttttttCTT，因此存在非奇异常数矩阵C，使CttT)()(．“”若存在非奇异常数矩阵C，使CttT)()(，则有)(det)(det)(det)(det)]()(det[det0ttttttCTT，所以0)(dett，即)(t是非奇异矩阵或说)(t的各列是线性无关的．又)()()()()]([)()()(])([)()(0ttAtttttttttTTTtT，并注意到0)(dett，有)()()]([tAttTT，即)()()(ttAtT．从而)(t是方程ytAyT)(的基解矩阵．4．设)(t为方程Axx（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即E)0(），证明)()()(001tttt，其中0t为某一值．证明由于A为nn常数矩阵，故A在),(有定义、连续，从而它的解也在),(连续可导．由)(t为方程Axx的基解矩阵，故),(t，有0)(dett，并且有)()(tAt，从而对某个0t，有0)(det0tt，且)()()()(])([00000ttAtttttttt，即)(0tt亦为方程Axx的基解矩阵．由推论2*，存在一个非奇异常数矩阵G，使得在区间),(上，Gttt)()(0．又因为GtttE)()()0(000，所以)(01tG．因此)()()(001tttt，其中0t为某一值．5．设)(,)(tftA分别为在区间],[ba上连续的nn矩阵和n维列向量．证明方程组)()(tfxtAx存在且最多存在1n个线性无关解．证明设方程组xtAx)(的基解矩阵为)](,,)(,)([)(21ttttn，而)(~t是方程组)()(tfxtAx的一个特解，则其通解为)(~)(tctx，其中c是任意的常数列向量．若)(tf不恒为0，则)(~t必与)(,,)(,)(21tttn线性无关，从而)(~t，)(~)(1tt，)(~)(2tt，)(~)(,2tt线性无关，即方程组)()(tfxtAx存在1n个线性无关解．又假若)(tx是方程组)()(tfxtAx的任意一个解，则一定有确定的常数列向量c，使得)(~)()(tcttx，将其加入)(~t，)(~)(1tt，)(~)(2tt，)(~)(,2tt这一组向量就线性相关，故方程组)()(tfxtAx的任何2n个解必线性相关．从而方程组)()(tfxtAx存在且最多存在1n个线性无关解．6．试证非齐线性微分方程组的叠加原理：设)(,)(2