数分定义上册

1.集合又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素。1.有一类特殊的集合，它不包含任何元素，我们称之为空集，记为。集合的基本运算有交、并、补、差四种。定义(集合的交、并、差)设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集，记作BA；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集，记做BA；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集，记做BA\。2.集合S有n个元素组成，这里的n是确定的非负整数，则称集合S为有限集。不是有限集的集合称为无限集。3.如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，或者说，这个集合可表示为,...,...,,21naaa，则称其为可列集。4.设X,Y是两个给定的集合，若按照某种规则f，使得对集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中惟一确定的元素y与之对应，则称这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为f：X→Y，y=f（x）。其中y称为在映射f之下x的像，x称为在映射f之下y的一个逆像（也称原像）。集合X称为映像f的定义域，记为fD。而在映射f之下，X中的元素x的像y的全体称为映射f的值域，记为fR，即fR={y∣yY并且y=f（x），xX}。5.设f是集合X到集合Y的一个映像，若f的逆像也具有惟一性，则称f为单射；如果映射f满足fR=Y，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f双射（又称一一对应）。6.基本初等函数：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为初等函数。初等函数的自然定义域是指它的自变量的最大取值范围。7.函数的简单特性（详见P19-P21）（1）有界性：若存在两个常数m和M，使函数y=f（x），xD满足m≤f（x）≤M，xD，则称函数f在D有界。其中m是它的下界，M是它的上界。（2）单调性。（3）奇偶性。（4）周期性.8.naaan...21算术平均数，nnaaa...21几何平均数，naaan1...1121调和平均数。9.无界（非官方）：对任意M0,{nx}中必存在无穷多个nx,满足∣nx∣M,则称数列nx无界。10.上确界与下确界设S是一个非空数集，如果MR，使得xS，有xM，则称M是S的一个上界；如果mR，使得xS，有xm，则称m是S的一个下界。当数集S既有上界，又有下界时，称S为有界集。显然S为有界集X＞0，使得xS，有Xx。设数集S有上界，记U为S的上界全体所组成的集合，则显然U不可能有最大数，设U的最小数为，就称为数集S的上确界，，即最小上界，记为=supS。上确界满足的性质：1，是数集S的上界：xS，有x；2，任何小于的数不是数集S的上界：＞0，xS，使得x＞-。同理，下界全体所组成的集合中的最大数为数集S的下确界，即最大下界，记为=infS。11.数列极限概念设{nx}是一给定数列，a是一个实常数。如果对于任意给定的＞0，可以找到正整数N，使得当nN时，成立axn，则称数列{nx}收敛于a（或a是数列{nx}的极限），记为,limaxnn有时也记为nxa（n）。如果不存在实数a，使{nx}收敛于a，则称数列{nx}发散。12.在收敛的数列中，我们称极限为0的数列为无穷小量。13.当n增大时。数列各项的绝对值也无限制地增大，这样的数列我们称为无穷大量。分析定义如下：若对于任意给定的G0，可以找到正整数N,使得当nN时成立Gxn,则称数列{nx}是无穷大量，记为nnxlim。G0,N,nN:Gxn。14.如果数列{nx}满足1nnxx，n=1,2,3，…,则称{nx}为单调增加数列；若进一步满足1nnxx，n=1,2,3，…,则称{nx}为严格单调增加数列。类似可以定义递减的。15.如果一列闭区间},{nnba满足条件：（1）11,nnbannba,，n=1,2,3，…；（2）0)(limnnnab，则称这列闭区间形成一个闭区间套。16.设{nx}是一个数列，而1n2n...kn1kn…是一列严格单调增加的正整数，则1nx，2nx，…，knx，1knx…也形成一个数列，称为数列{nx}的子列，记为{knx}15.如果数列{nx}具有以下特性：对于任意给定的0,存在正整数N，使得n，mN时成立mnxx，则称数列{nx}是一个基本数列，也称柯西序列。16.Cauchy收敛原理表明，由实数构成的基本数列{nx}必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性。17.函数极限：设函数xfy在点0x的某个去心邻域中有定义，即存在0,使fDxxO}{\),(00。如果存在实数A，对于任意给定的0,可以找到0，使得当00xx时，成立Axf)(，则称A是函数f(x)在点0x的极限，记为Axfxx)(lim0，或)()(0xxAxf。如果不存在具有上述性质的实数A，则称函数xfy在点0x的极限不存在。用符号表述为：Axfxx)(lim0Axfxxx:0,0,00。18.单侧极限：设xf在),(00xx有定义（0）。如果存在实数B，对于任意给定的0,可以找到0，使得当00xx时，成立Bxf)(，则称B是函数f(x)在点0x的左极限，记为Bxfxfxx)()(0lim0。类似地，如果xf在),(00xx有定义（0）。如果存在实数C，对于任意给定的0,可以找到0，使得当00xx时，成立Cxf)(，则称C是函数f(x)在点0x的右极限，记为Cxfxfxx)()(0lim0。19.函数极限定义的扩充“xfA”：“Axf:,...0”；“xf”：“G0,…：Gxf)(”；“xf+”：“G0,…：Gxf)(”；“xf-”：“G0,…：Gxf)(”；“x0x”：“…，0，x（00xx）：…”；“x0x+”：“…，0，x（00xx）：…”；“x0x-”：“…，0，x（00xx）：…”；“x”：“…，X0,x(Xx)：…”；“x+”：“…，X0,x(xX)：…”；“x-”：“…，X0,x(x-X)：…”。20.设函数xf在点0x的某个邻域中有定义，并且成立)()(0lim0xfxfxx，则称函数xf在点0x连续，而称0x是函数xf的连续点。函数xf在点0x连续，符号表述：)(:0,0,000xfxfxxx。21.若函数xf在区间),(ba的每一点都连续，则称函数xf在开区间),(ba上连续。22.单侧连续若)()(0lim0xfxfxx，则称函数xf在点0x左连续；若)()(0lim0xfxfxx，则称函数xf在点0x右连续。)()(0lim0xfxfxx可表述为：0,0,00xxx：)()(0xfxf；)()(0lim0xfxfxx可表述为：00,0,0xxx：)()(0xfxf。23.若函数xf在区间),(ba连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称函数xf在闭区间],[ba上连续。24.统一形式：设函数xf定义在某区间X上（X可以是开区间，闭区间或半开半闭区间）。如果Xx0与)(:0,0,000xfxfxxXx，则称函数xf在区间X上连续。25.不连续点类型（1）第一类不连续点（跳跃点）：函数xf在点0x的左、右极限都存在但不相等，即)()(00xfxf。（xf=sgnx）（2）第二类不连续点：函数xf在点0x的左、右极限中至少有一个不存在。（xf=sinx1）（3）第三类不连续点（可去不连续点或可去间断点）：函数xf在点0x的左、右极限都存在而且相等，但不等于0xf或者xf在点0x无定义。（xf=xsinx1）26.若0)(lim0xfxx，则称当x0x时xf是无穷小量。xu，xv是两个变量，当x0x时，它们都是无穷小量。27.)()(lim0xvxuxx0，当x0x时，xu关于xv是高阶无穷小量。28.)()(lim0xvxuxxc≠0，当x0x时，xu与xv是同阶无穷小量。29.)()(lim0xvxuxx1，当x0x时，xu与xv是等价无穷小量。30.若)()(lim0orxfxx，则称当x0x时，xf是无穷大量（or正、负无穷大量）。31.高阶、同阶、等价无穷大量定义类似于无穷小量的。32.等价量指等价无穷小量或等价无穷大量。33.设函数xf在区间X上有定义，若对于任意给定的0,可以找到0，，只要'x，''xX满足'''xx，就成立)()('''xfxf，则称函数xf在区间X上一致连续。（一致连续的曲线较平缓）34.对函数xfy定义域中的一点0x，若存在一个只与0x有关，而与x无关的数0xg，使得当x0时恒成立关系式)()(0xoxxgy，则称xf在0x的微分存在，或称xf在0x处可微。若函数xfy在某一区间上的每一点都可微，则称xf在该区间上可微。35.xxg)(称为y的线性主要部分。当xf在x处可微且x0时，将x称为自变量的微分，记作dx；将y的线性主要部分dxxg)(（即xxg)(）称为因变量的微分，记作dy或dxf。微分关系式为dy=dxxg)(。36.若函数xfy在其定义域中的一点0x处极限xyxlim0xxfxxfx)()(000lim存在，则称xf在0x处可导，并称这个极限值为xf在0x处的导数，记为0'xf（或0),(0'xxdxdyxy，0xxdxdf）。若函数xfy在某一区间上的每一点都可导，则称xf在该区间上可导。37.导数又称“微商”（dxxfdy'）38.0'xf=xxfxxfx)()(000lim（左导数）0'xf=xxfxxfx)()(000lim（右导数）39.一阶微分的形式不变性（详见P146）40.设函数xfy可导，若它的导数xf'（或dxdyxy),('，dxdf）任是个可导函数，则xf'的导数[xf']'(或)(,)]([''dxdydxdxy，)(dxdfdxd)被称为xf的二阶导数，记为xf''（或2222'',),(dxyddxfdxy），这时我们称xf是二阶可导函数（简称xf二阶可导）或者xf的二阶导数存在。（n≥2时称为高阶导数）41.设函数xfy的n-1阶导数xfn)1(（n=2，3，…）任是个可导函数，则它的导数[xfn)1(]'被称为xf的n阶导数，记为xfn)(。并称xf是n阶可导函数（简称xfn阶可导）或者xf的n阶导数存在。42.dy是函数y=xf的一阶微分，则称dy的微分d（dy）=yd2为y的二阶微分。一般地，若y的n-1阶微分为ydn1，定义y的n阶微分为ydn=d（ydn1），n=2，3，...（如果ydn1的微分存在的话）。43.设xf在),(ba上有定义，0x),(ba，如果存在点0x的某一个邻域),(0xO),(ba，使得xxfxf),()(0