浅谈数形结合发展简史

龙源期刊网浅谈数形结合发展简史作者：阿卜杜加帕尔·阿巴拜克尔阿米乃·图尔迪麦麦提来源：《新教育时代·学生版》2017年第25期摘要：“数”与“形”是数学的两大基本概念，数学的发展史也主要是围绕“数”和“形”这两大概念产生、发展、变迁的历史。随着数学内涵的不断扩充，数学中最原始的两大对象——“数”与“形”的概念自身处于不断的发展变化中。关键词：数形数形结合发展史阶段简单来说“数”与“形”经历了一个由分到和，又由合而分的发展变化过程。追溯数形结合思想的历史渊源，我们可以发现数形结合的历史与数学的发展史息息相关，历史上数形概念的发展变化可以概括为以下阶段：一、数学萌芽时期的数形结合——数形不分在人类的原始时代，人们对数的认识与形是密不可分的。正如德国数学家克隆尼克所言：“整数是被亲爱的上帝造成的，其它的一切都是人的工作”，数的概念是人类通过实践从客观事物的众多属性中抽象出来的。此时数与形是结合在一起的。例如：“天上一个太阳（数1与太阳结合在一起），人的一只手有五个指头（数5与一只手的指头结合在一起）等等”。最早的计数方法也体现了这一点，如结绳记事、在树皮上划下刻痕计数等。历史上最早的计数工具—中国的算筹和算盘就是数形结合的典范。在形的发展过程中也离不开数的作用，如最早的几何知识产生于实际丈量土地的需要，人们对图形面积的计算需要借助于数。所以形的发展也体现了数形结合的思想。这个时期由于人们的认识能力有限，对数与形还没有达到有意识区分的水平，所以数形结合是必然的，它是一种无意识的结合。二、古代数学发展时期的数形结合——从数占上风到形占上风古埃及人与巴比伦人通过长期的生产生活实践获得了大量的直观的几何知识，然后传到了古希腊。古希腊的学派文化极大地促进了古希腊数学的发展。毕达哥拉斯学派的贡献之一是有意识地承认并强调：“数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事务或实际形象是截然不同的。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，不过他们所说的数是指整数，对于分数他们认为是整数之比。这个学派数做了许多研究。毕氏学派并不把数和几何上的点分开来，即数和形是结合在一起的。他们用图形来解释整数的一些性质。可是毕氏学派在研究能组成直角三角形数组的三边（即毕达哥拉斯定理）时却发现了不可公度比扼，它否定了毕氏学派的信条“宇宙间一切现象都能归结为整数或整数之比”。古希腊人拒绝承认无理数是数，但为了解决不可公度的问题，另一个学派欧多克斯引入了变量这个概念。“它不是数，而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间这些能够连续变动龙源期刊网的东西”。量不能指定数值，但是类似于数，可以定义两个量之比及比例关系。这样做的后果是把数与几何截然分开，只有几何能处理不可公度比。根据欧多克斯的理论，古希腊的数学家绕开了无理数，从而把研究方向也从数转向了形。当希腊数学发展到亚历山大时期，数学家直接把无理数用于计算促进三角术问世并得到发展，同时算数和代数也从几何中分离出来，成为独立的学科。代数学在16世纪取得了突破性进展，解决了二次、三次、四次方程的求根问题，建立了一整套简明的字母符号体系。而受严密的逻辑推理及尺规作图的影响，希腊的数学家对几何的研究举步维艰。例如他们把几何只限于研究那些能用直线和圆作出的图形，曲面只限于研究那些从直线和圆绕一周产生的圆柱、圆锥和球等。并且他们在研究抛物线弓形面积或螺线弧所含面积时遇到相当大的难度。这一切都迫切地要求数和形结合起来，携手前行。三、解析几何产生后的数形结合——数形结合人类进入17世纪以后，力学、天文以及技术的需要，对于圆锥曲线的研究变得非常重要而有现实意义，解析几何就是在这种背景下产生。解析几何的产生加强了“数”与“形”的结合，使“数”与“形”的结合产生了质的飞跃。由法国数学家笛卡尔所创立的解析几何的基本思想是：在直角坐标平面内，将每个几何点（形）与数对（数）建立起一一对应关系，顺理成章地使每条曲线同时与每个方程也建立起一一对应关系，这样每条曲线一个几何问题通过点的坐标就翻译成一个与之对应的代数问题，再采用代数的方法来解决这些代数问题；然后，又把通过代数手段所得的结果翻译成相应的几何问题，也就是利用代数的手段来得到几何问题的解答。解析几何的创立使几何问题有了一个有力的工具——代数的工具，而且还扩大了几何的领域。另一方面又揭露了代数与分析中的许多事实可以用几何来表现，例如函数关系就可以用图形来表示。反过来，几何上的一些考虑又可以帮助解决代数与分析的问题”。解析几何的思想促进了数和形双方面的快速发展。从几何角度来看，几何学的研究从定性研究阶段推进到定量研究阶段，它的研究对象从三维的现实空间拓展到高维的抽象空间，人们对几何图形的认识从静态到动态，把曲线看成是点通过运动形成的轨迹。从这一观点出发对曲线及函数进行的研究直接加速了微积分的形成的历史进程。而从代数角度来看，几何学思想方法向代数学思想方法的迁移及渗透，开创了代数学许多新的研究方向如线性代数、数学分析等。借助于几何图形的直观性，许多抽象的代数知识具备了直观思考的基础。四、近代与现代数学中的数形结合18世纪以来的数学，或许只能牵强地认为：“数”就是包括分析学、数论以及以代数方程等为主题的代数学，而“形”就是包含了部分射影几何内容的解析几何、欧几里得几何、微分几何等几何学。然而解析几何并非只是单纯地对“形”进行研究，因而解析几何从其诞生之日开始算不上完全意义上的几何学。在此以后代数、几何与分析可以说几乎是紧密联系、捆绑式地发展，因为解析几何的中心思想是把代数方程与曲线、曲面等图形联系起来，而微分几何是利用微积分的手段来研究曲线、曲面随着点瞬时变化而逐点变化的性质。所以“数”与“形”在局部相龙源期刊网关领域联系就更加紧密，这种情况下“形”的作用主要是提供研究的对象以及辅助思考的工具，而“数”的作用则是为研究提供了必要的工具与方法、更新了视角。现代数学中，新的数学分支的发展和许多交叉学科的产生，使得数和形已难以明确区分。由于现代数学工具大部分兼具“数”和“形”双重特征，“数形结合”已经作为一种基本数学思想被完全地、彻底地熔融到数学的发展与教学中。