合理构造函数解导数问题

Bychenkaiufo第1页共17页构造函数法构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。一、移项法构造函数【例【例【例【例1111】】】】已知函数xxxf−+=)1ln()(，求证：当1−x时，恒有xxx≤+≤+−)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(−+++=xxxg，从其导数入手即可证明。【解】1111)(+−=−+=′xxxxf∴当01−x时，0)(′xf，即)(xf在)0,1(−∈x上为增函数当0x时，0)(′xf，即)(xf在),0(+∞∈x上为减函数故函数()fx的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞于是函数()fx在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max==fxf，因此，当1−x时，0)0()(=≤fxf，即0)1ln(≤−+xx∴xx≤+)1ln(（右面得证），现证左面，令111)1ln()(−+++=xxxg，22)1()1(111)(+=+−+=′xxxxxg则当0)(,),0(;0)(,)0,1(′+∞∈′−∈xgxxgx时当时，即)(xg在)0,1(−∈x上为减函数，在),0(+∞∈x上为增函数，故函数)(xg在),1(+∞−上的最小值为0)0()(min==gxg，∴当1−x时，0)0()(=≥gxg，即0111)1ln(≥−+++xx∴111)1ln(+−≥+xx，综上可知，当xxxx≤+≤−+−)1ln(111,1有时【警示启迪】如果()fa是函数()fx在区间上的最大（小）值，则有()fx≤()fa（或()fx≥()fa），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln21)(2xxxf+=求证：在区间),1(∞+上，函数)(xf的图象在函数Bychenkaiufo第2页共17页332)(xxg=的图象的下方；分析：函数)(xf的图象在函数)(xg的图象的下方)()(xgxf⇔不等式问题，即3232ln21xxx+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln21xxx+成立，设)()()(xfxgxF−=，),1(+∞∈x，考虑到061)1(=F要证不等式转化变为：当1x时，)1()(FxF，这只要证明：)(xg在区间),1(+∞是增函数即可。【解】设)()()(xfxgxF−=，即xxxxFln2132)(23−−=，则xxxxF12)(2−−=′=xxxx)12)(1(2++−当1x时，)(xF′=xxxx)12)(1(2++−从而)(xF在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(=FxF∴当1x时0)()(−xfxg，即)()(xgxf，故在区间),1(∞+上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg=的图象的下方。【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设)()()(xgxfxF−=做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元法构造函数证明【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn−+都成立.分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令xn=1，则问题转化为：当0x时，恒有32)1ln(xxx−+成立，现构造函数)1ln()(23++−=xxxxh，求导即可达到证明。【解】令)1ln()(23++−=xxxxh，则1)1(31123)(232+−+=++−=′xxxxxxxh在),0(+∞∈x上恒正，所以函数)(xh在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x时，恒有，0)0()(=hxh即0)1ln(23++−xxx，∴32)1ln(xxx−+Bychenkaiufo第3页共17页对任意正整数n，取3211)11ln(),0(1nnnnx−++∞∈=，则有【警示启迪】我们知道，当()Fx在[,]ab上单调递增，则xa时，有()Fx()Fa．如果()fa＝()aϕ，要证明当xa时，()fx()xϕ，那么，只要令()Fx＝()fx－()xϕ，就可以利用()Fx的单调增性来推导．也就是说，在()Fx可导的前提下，只要证明'()Fx０即可．4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf′－)(xf恒成立，且常数a，b满足ab，求证：．a)(afb)(bf【解】由已知x)(xf′+)(xf0∴构造函数)()(xxfxF=，则=)('xFx)(xf′+)(xf0，从而)(xF在R上为增函数。∵ba∴)()(bFaF即a)(afb)(bf【警示启迪】由条件移项后)()(xfxfx+′，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(xxfxF=，求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(xfxfx′，则移项后)()(xfxfx−′，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例．（全国）已知函数xxxgxxxfln)(,)1ln()(=−+=(1)求函数)(xf的最大值；(2)设ba0,证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag−+−+.分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对xxxgln)(=求导,则1ln)('+=xxg.在)2(2)()(bagbgag+−+中以b为主变元构造函数,设)2(2)()()(xagxgagxF+−+=,则2lnln)]2([2)()('''xaxxagxgxF+−=+−=.Bychenkaiufo第4页共17页当ax0时，0)('xF,因此)(xF在),0(a内为减函数.当ax时,0)('xF,因此)(xF在),(+∞a上为增函数.从而当ax=时,)(xF有极小值)(aF.因为,,0)(abaF=所以0)(bF,即.0)2(2)()(+−+bagbgag又设2ln)()()(axxFxG−−=.则)ln(ln2ln2lnln)('xaxxaxxG+−=−+−=.当0x时,0)('xG.因此)(xG在),0(+∞上为减函数.因为,,0)(abaG=所以0)(bG,即2ln)()2(2)()(abbagbgag−+−+.6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例．已知函数21()2xfxaex=−(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)1+x解：(1)f′(x)＝aex－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥1/e,即a的取值范围是[1/e,+∞)(2)记F(X)=f(x)－(1+x)=)0(1212−−−−−−−−−−−−xxxxxxxxxxxxeeeexxxx则F′(x)=ex-1-x,令h(x)=F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1当x0时,h′(x)0,∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,又h(x)在x=0处连续,∴h(x)h(0)=0即F′(x)0,∴F(x)在(0,+∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,∴F(x)F(0)=0,即f(x)1+x．小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(xfm(或)(xfm)恒成立，于是m大于)(xf的最大值（或m小于)(xf的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当2111)1(,0xxexx+++时Bychenkaiufo第5页共17页8.构造形似函数例：证明当abbaeab证明,例：已知m、n都是正整数，且,1nm证明：mnnm)1()1(++【思维挑战】Bychenkaiufo第6页共17页1、（2007年，安徽卷）设xaxxxfaln2ln1)(,02+−−=≥求证：当1x时，恒有1ln2ln2+−xaxx，2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数,ln3)(,221)(22bxaxgaxxxf+=+=其中a0，且aaabln32522−=，求证：)()(xgxf≥3、已知函数xxxxf+−+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a、b，恒有.1lnlnabba−≥−4、（2007年，陕西卷）)(xf是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(xfxfx−′≤0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）（A）af(b)≤bf(a)（B）bf(a)≤af(b)（C）af(a)≤f(b)（D）bf(b)≤f(a)1、提示：xaxxxf2ln21)(+−=′，当1x，0≥a时，不难证明1ln2xx∴0)(′xf，即)(xf在),0(+∞内单调递增，故当1x时，0)1()(=fxf，∴当1x时，恒有1ln2ln2+−xaxx2、提示：设bxaaxxxfxgxF−−+=−=ln3221)()()(22则xaaxxF232)(−+=′=xaxax)3)((+−)0(x∵0a，∴当ax=时，0)(=′xF，故)(xF在),0(a上为减函数，在),(+∞a上为增函数，于是函数)(xF在),0(+∞上的最小值是0)()()(=−=agafaF，故当0x时，有0)()(≥−xgxf，即)()(xgxf≥3、提示：函数)(xf的定义域为),1(+∞−，22)1()1(111)(xxxxxf+=+−+=′∴当01−x时，0)(′xf，即)(xf在)0,1(−∈x上为减函数当0x时，0)(′xf，即)(xf在),0(+∞∈x上为增函数因此在)(,0xfx时=取得极小值0)0(=f，而且是最小值于是xxxfxf+≥+=≥1)1ln(,0)0()(从而，即xx+−≥+111)1ln(令abxbax−=+−=+1111,01则于是abba−≥1ln因此abba−≥−1lnlnBychenkaiufo第7页共17页4、提示：xxfxF)()(=，0)()()(2'≤−=′xxfxxfxF，故xxfxF)()(=在（0，+∞）上是减函数，由ba有bbfaaf)()(≥⇒af(b)≤bf(a)故选（A）部分精选练习题部分精选练习题部分精选练习题部分精选练习题例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题）已知函数()()axxxaxxf−−++=231ln.(1)若32为()xfy=的极值点，求实数a的值；(2)若()xfy=在[)+∞,1上增函数，求实数a的取值范围；(3)若1−=a时，方程()()xbxxf=−−−311有实根，求实数b的取值范围。解：（1）因为33332222====xxxx是函数的一个极值点，所以0000))))33332222((((====′′′′ffff，进而解得：0=a，经检验是符合的，所以....0000====aaaa（2）显然(),2312ax