坐标系与参数方程(知识点+选题)

1第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λx，λ＞0，y′＝μy，μ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．3．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2tanθ＝yx(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θ≤π22圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤0＜π)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a－π2＜θ＜π2.(3)直线过Mb，π2且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．第二节参数方程1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝ft，y＝gt就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)3圆x2＋y2＝r2x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．重点1坐标系与参数方程1．极坐标和直角坐标互化的前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；[来源:Z+xx+k.Com]（2）极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点P的直角坐标为(,)xy，它的极坐标为(,)，则互化公式是cossinxy或222tanxyyx；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解．2．消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中,xy含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性.3．参数方程的用途主要有以下几个方面：（1）求动点(,)xy的轨迹，如果,xy的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用．（2）可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能．（3）有些曲线参数方程的参变量t有几何意义．若能利用参变量的几何意义解题，常会取得意想不到的效果．如利用直线标准参数方程中t的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.[高考常考角度]角度1若曲线的极坐标方程为cos4sin2，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.解析：关键是记住两点：1、cos,sinxy，2、222yx即可.由已知22sin4cos2sin4cos2224,xyyx22420xyxy为所求.4角度2在极坐标系中，点(,)到圆2cos的圆心的距离为（）A.2B.249C.219D.3解析：极坐标(,)化为直角坐标为(2cos,2sin)33，即(1,3).圆的极坐标方程2cos可化为22cos，化为直角坐标方程为222xyx，即22(1)1xy，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式22(11)(30)3d.故选D.角度3已知两曲线参数方程分别为5cos(0)sinxy≤＜和25()4xttRyt，它们的交点坐标为.解：5cossinxy表示椭圆2215xy(0)y，254xtyt表示抛物线245yx联立得222215450145xyxxxyx或5x（舍去），又因为0y，所以它们的交点坐标为25(1,)5[来源:学#科#网]角度4直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,AB分别在曲线1C：3cos4sinxy（为参数）和曲线2C：1上，则||AB的最小值为．点评：利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．解析：曲线1C的方程是22(3)(4)1xy，曲线2C的方程是221xy，两圆外离，所以||AB的最小值为2234113．角度5在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为sincosyx（为参数），曲线2C的参数方程为sincosbyax（0ba，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与1C，2C各有一个交点．当0时，这两个交点间的距离5为2，当=2时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明12,CC是什么曲线，并求出a与b的值；（Ⅱ）设当=4时，l与12,CC的交点分别为11,AB，当=4时，l与12,CC的交点为22,AB，求四边形1221AABB的面积．解析：（Ⅰ）12,CC的普通方程分别为221xy和22221xyab，故1C是圆，2C是椭圆.当0时，射线l与12,CC交点的直角坐标分别为(1,0),(,0)a，因为这两点间的距离为2，所以3a.当2时，射线l与12,CC交点的直角坐标分别为(0,1),(0,)b，因为这两点重合，所以1b.（Ⅱ）12,CC的普通方程分别为221xy和221.9xy当4时，射线l与1C交点A1的横坐标为22x，与2C交点B1的横坐标为310.10x[来源:Zxxk.Com]当4时，射线l与12,CC的两个交点22,AB分别与11,AB关于x轴对称，因此，四边形1221AABB为梯形.故四边形1221AABB的面积为(22)()2.25xxxx[来源:学科网ZXXK]易失分点1参数的几何意义不明典例已知直线l的参数方程为122322xtyt（t为参数），若以平面直角坐标系xOy中的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为2cos().4（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与曲线C交于,AB两点，求||AB．易失分提示：对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误．6解析：（1）直线的参数方程可以化为cos32sin23xtyt，根据直线参数方程的意义，直线l经过点2(0,)2，倾斜角为3.（2）l的直角坐标方程为232yx，即23220xy曲线C2cos()4的直角坐标方程为2222()()122xy，所以圆心22(,)22到直线l的距离22|2322|6224124d所以2610||21()42AB易失分点2极坐标表达不准[来源:Z.xx.k.Com]典例已知曲线12,CC的极坐标方程分别为cos3,4cos,0,则曲线1C与2C交点的极坐标为_________________[来源:学,科,网Z,X,X,K]易失分提示:本题考查曲线交点的求法，易错解为：由方程组2323cos334coscos662或即两曲线的交点为23,6（)或23,6（)正解解析：由方程组2323cos334cos2cos62k或2326k即两曲线的交点为(23,2)6k或(23,2),6kkZ在极坐标系中，有序实数对的集合{(,)|,}R与平面内的点集不是一一对应的.给出一个有序数对(,)，在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极坐标不是唯一的，若点M不是极点，(,)是它的一个掇坐标，那么M有无穷多个极坐7标(,2)k与(,(21)),kkZ各类题型展现：1.（本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为5cos(3sinxy为参数）（1）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3xttyt为参数）平行的直线l的普通方程.（2）求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值。解析：（1）由已知得椭圆的普通方程为221,2594259xyc，右焦点为(4,0)，直线的普通方程为220xy，所以12k,于是所求直线方程为1(4)2yx即240xy.（2）4||60sincos30sinSxy2，当22时，面积最大为30.2.（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心(2,)4C，半径3r.（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若[0,)4，直线l的参数方程为sin2cos2tytx（t为参数），直线l交圆C于AB、两点，求弦长AB的取值范围.解析：（Ⅰ）方法一：∵圆心(2,)4C的直角坐标为(1,1)，∴圆C的直角坐标方程为31122yx.化为极坐标方程是01sincos22.方法二：如图，设圆C上任意一点,M，则2222cosCMOMOCOMOCCOM222(3)(2)22cos()4化简得01sincos22.．．．．．．．．4分8（Ⅱ）将sin2cos2tytx代入圆C的直角坐标方程31122yx，得3sin1cos122tt即01cossin22tt所以1,cossin22121tttt.故2sin224cossin4422122121ttttttAB，∵[0,)2[0,)42，∴3222AB，即弦长AB的取值范围是[22,23).．．．．．．．．．．．．．．．．．10分3.（本小题满分10分）已知直线l的参数方程是222