第六章 摄动方法

第六章摄动方法摄动方法是一种重要的应用数学方法，它在力学，物理和众多的工程学科中有着广泛的应用。工程技术中归纳出来的数学模型，其中不少是含有小参数的，且方程的准确解难以获得。利用计算机进行数值积分，虽然可以给出定解问题的数值解，但很难给出物理现象的全貌和一般规律，利用摄动法可以求得解析形式的近似解，对物理系统进行相当精确的定量和定性讨论。这里，主要讨论正则摄动方法和奇异摄动方法。§1正则摄动方法例1：已知初值问题（1）的解试求问题（2）直到一次项的近似解。2100dyydxy0tanyyx2'11100yyy解：(2)的精确解为将它关于展开设（2）的准确解不知道，于是将（2）的解表示为（3）1/21/21tan1yx211,tansectan22yxxxxx…,yx0122,yxyxyxyx…代入方程有（4）代入初值有（5）012001112dydyyyydxdx……01220000yyy…比较（4）和（5）的同次幂系数，可得满足的一系列方程，特别有将代入，得ny02001,00dyyxydx1200112,00dyyyyydx0tanyx1122tantandyxyxdx这是关于的一阶线性方程，由初值可得所以，直到的一次项的近似解是与前面准确展开的结果一致。1yx100y1211sectan22yxxxx0211,sectan22yxyxxxx…说明1：这个例子展开的方法就是正则摄动法（正则扰动法），又叫直接展开法，这个例子可正确求解，但体现的方法和思想可用于那些不能精确求解的问题。说明2：当时，可看出扰动项对问题的解的“影响”，时的问题称未扰动问题（退化问题），取到一次项为止的称为一阶近似。10下面通过单摆问题讨论直接展开法的主要步骤和内容：例2：单摆问题：(6)(7)222002sin0/0,'00,1dgldtaa对于要采用摄动法求解的问题，首先要考查问题是否是无量纲化形式?若不是，先进行无量纲化处理。因不同量纲的物理量无法进行量化比较，无量纲化后便于量级比较，从而可以确定哪一个量是小参数。引入无量纲参数：0,/tta则(6)~(7)化为(8)(9)通过标度变换，或者说无量纲化，可将不含参数的方程(6)化为含小参数的方程(8)，从而可以利用摄动法。1sin001,'00aa直接展开法的主要步骤：第一步：设代入方程(8)得(10)第二步：将所有的项都按小参数(这里是)展开，使每一项都可写成一个的幂级数。利用的展开式，上式中的第二项为：0,iiitata100sin0iiiiiitaaaaaasinx(保留到项)10siniiiaaa311003!iiiiiiaaaaaa…223340120323001266aaaOaOaOaaaOa2Oa第三步：将方程中的所有同次幂项合并，并令各次幂系数为0，(11)依次有2330011220106aaOa001132200016原方程(8)为非线性方程，现已化为一系列的线性方程。第四步：将初值或边值用幂级数展开式代入，得一系列关于的初值或边值方程，由(9)有：it'0010,00iiiiiiaa比较两边关于的系数有第五步：相继求解前四步得到的方程和初值组成的问题，现在有ia012'01,00,00,000,1,2,ii……01cos0ttt关于步(即项)没有作修正，将代入的方程有该问题可用常数变易法或系数待定法求解。注意到，得利用初值，得111a0233'2202211cos,00066tt31coscos33cos4ttt3211cossincossin19216tAtBtttt1/192,0AB所以，注意到，上面的求解都是形式上的。设(12)由此可得一阶近似：2111,coscoscos3sin19219216tatatttt0,iiitt01,ttt0为讨论所求近似解有效性问题，需研究级数(12)的一致收敛性问题，下面来介绍有关概念：定义1：设对任意固定的非负整数，当时，对于一致有n0,,nmmnmftutRt0,tab1,nnRtO则称为当时，在区间上的一致渐近幂级数，记为01nnututut……,ft0,ab01,~nnftututut……并称为当时在区间上一致有效的阶渐近近似式。定义2：设有的函数序列：对于任意固定的正整数，满足：01nnututut…,ft0,abn0121,,,,,n……1001lim0,2lim0nnnn又设对任一固定的非负整数当时，对于任意一致地有则称为当时,在区间上一致有效的阶渐近近似式。0,,nmmnmftutRt0,tab1,nnRtOn0mmmut,ft0,abn注意：注意渐近幂级数，渐近展开式，渐近近似式与以前的幂级数的区别。例3：设利用分步积分法有记1xxxfxexedx,0x121!11!!xxnxnnfxnexedxxxx…1!xxnxnRxnexedx固定，若时，，则(13)由方法知，级数在时处处发散，说明式(13)不能成立。下面换一个角度考虑问题，固定，由于，有,0xn0nRx21!11!nnfxxxx…….DAlembert,0x!nnnxn0x当时，，(固定)，表明，充分大时，可用：1!xnxxnRxnexedx11!!nxxnnexenxx11nnRxxOn0xx21!11!nnxxx…作为的近似式，记为可见渐近展开式是固定，考虑变化，而幂级数是固定，考虑时的变化。fx21!11!~0,nnfxxxxxx……nxxn对于前面得到的单摆问题的近似公式:(*)现在用前面介绍的有关一致有效的阶近似来衡量就有二种情况:(1),(2)。2111,coscoscos3sin19219216tatatttt0,T0,tn对于(1)，注意到(*)中有的项，当时，对于，则修正量是小的(的项)，即(*)在区间上，当时是一致有效的渐近近似式。对于(2)，时，情况就不同了，对给定的初始角位移时，的振幅会不断增加，21sin16att2116aT0,T0a0,tT2a0,t1a21sin16att从物理上看，这是不合理的，这种近似(或者说修正)是不正确的，应予排除，这一项称为长期项，表明正则摄动法对是失败的，必须引入奇异摄动法。下面来给出正则摄动法的定义：定义：考虑0,t2001,,',,'uuftFtuuutctutc可以是无穷区间，或闭区间，，设为连续函数;对连续，对其余变量在其变化范围内解析，则该问题称为摄动问题，时对应的问题称为退化问题，若问题的解当时，对有一致渐近幂级数，即则称为上的正则摄动，否则称为奇异摄动。,tab1ftFtP00PP,ut0,tab01,~mmmutututP,ab下面再考虑一个使正则摄动失效的例子：例4：（1）（2）该问题的解为：(3)'101yxyy22/2/2011xxxyeedx设，代入(1)式比较同次幂的系数，有：相应的解展开式(4)0'01'12'231000xyyxyyxyyxy………2012yyyy…35701231/,1/,3/,35/,yxyxyxyx…325371//3/35/yxxxx…可以看出，不管取零阶，一阶或二阶近似，端点条件均不能满足，对大的，当是小量时，渐近解与精确解很接近;在附近，即使很小，两者相称仍很大，在附近，精确解变化迅速，称此区域为边界层。将精确解展开，有(5)01yx0x0x221xxy…对照(4)和(5)，在边界层中，渐近展开式(4)之所以非一致有效，问题就出在(1)中在最高阶导数前有，而0阶近似：，不是常微分方程，失去边界条件。类似的情况对的边值问题也会发生。01xyPDE§2奇异摄动法从前面讨论的正则摄动法看到，有的情况是部分边值不满足，有的是出现了“长期项”，而有的则是展开式中出现了奇性。凡此种种表明，正则摄动法失效的情况不止限于“长期项”一种，需要对直接展开法予以改正。这里引出奇异摄动法，主要讨论多重尺度法和方法。PL一、多重尺度法在实际的物理现象中，某些变量变化比较“缓慢”，如非线性振动中的“振幅”，另外一些变量，变化可能比较剧烈，如流体在管壁附近其沿法向流速变化较快，启发人们用不同的时间尺度或空间尺度来作渐近展开，即采用多种尺度。下面举例来说明，若采用多重尺度法，如果尺度取得恰当，零阶渐近就给出精确解。例1：问题的精确解为将它在展开可以看到，一次项就出现了长期项，当时式在内一致有效。当时，不能一致有效。22'1000,'01xxxxxsintxte0sinsinxttt…01/T0,T1T现采用两种尺度：1和，设，前者相当于时间尺度1，是快变量，后者相当于大的时间尺度，是慢变量，在范围内用。设：112,tttt11T212012112212,,,,,,xtuttuttuttutt…利用代入方程和初值，得：通解为：(2)122222222211222dxuudtttdxuuudttttt200002110,0,00,0,01uuuutt02121cossinuAttBtt0其中为的任意函数，但(3)：22,AtBt2t00,01AB12200112111201112220,00,0,00,0uuuuttttuuutt将(2)代入方程，有(4)为消除中的长期项，令(4)式中的系数为0：利用(3)，有2112122212'cos2'sinuuBtBttAtAttt1ucos,sint