六方晶系四指数推导

1.4晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。2晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。二晶向指数和晶面指数的确定1晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w=xa∶yb∶zc。(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。图1晶向指数的确定方法图2不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z1-z2)三个数化成最小的简单整数u，v，w，并使之满足u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。则[uvw]为该晶向的指数。显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。说明：a指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。b负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。c晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用uvw表示，数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用UVW表示。100：[100][010][001][001][010][100]111：[111][111][111][111][111][111][111][111]图3正交点阵中的几个晶向指数2晶面指数的确定国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（hkl）。图4中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下。图4晶面指数的确定(1)建立一组以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c。(2)求出待标晶面在a，b，c轴上的截距xa，yb，zc。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。(3)取截距的倒数1/xa，1/yb，1/zc。(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h，k，l，使h∶k∶l=1/xa∶1/yb∶1/zc。(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h，k，l置于圆括号内，写成(hkl)，则(hkl)就是待标晶面的晶面指数。说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。a指数意义：代表一组平行的晶面；b0的意义：面与对应的轴平行；c平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；d晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。在立方系中，{100}：（100）（010）（001），{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011），{111}：（111）（111）（111）（111）e若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;f若晶面与晶向垂直，则u=h,k=v,w=l。立方系常用晶面指数图5。图5立方系常用晶面指数例子：请确定图6中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面。首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为a/2，2b/3，c/2。取倒数后得到2，3/2，2。再将其化成最小的简单整数比，得到4，3，4三个数。于是该面的晶面指数为(434)。图6图7晶面指数的标注所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族3关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：(1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置）。但不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。(2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（231），[112]等。(3)若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是同向(当n0)，或是反向(当n0)。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非n=1。从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是符号（正负号）和排列次序不同。这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号{hkl}，也很容易写出它所包括的全部等价晶面。对于非立方晶系，由于对称性改变，晶面族所包括的晶面数目就不一样。例如正交晶系，晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族来包括。与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用uvw表示。仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的100，110，111，112和123等晶向族所包括的等价晶向。以后，在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号，那就表示该性质（或行为）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立，因而没有必要区分具体的晶面或晶向。另外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl)。4.六方晶系指数表示上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三指数表示方法，原则上适用于任意晶系。对六方晶系，取a，b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120°，c轴与a，b轴相垂直，如图9所示。图9六方晶体的等价晶面和晶向指数但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。这一点可以从图9看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（101）和(100)。图中夹角为60°的两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110]。由于等价晶面或晶向不具有类似的指数，人们就无法从指数判断其等价性，也无法由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示，而采用四指数表示（密勒-布拉菲指数）。四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3和c轴，如图10所示，其中，a1，a2和c轴就是原胞的a，b和c轴，而a3=-(a1+a2)。下面就分别讨论用四指数表示的晶面及晶向指数。图10六方晶体的四轴系统（1）六方晶系晶面指数的标定六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在a1，a2，a3和c轴上的截距可求得相应的指数h，k，i，l，于是晶面指数可写成(hkil)。根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。应用上述方法标定的晶面指数形式上是4个指数，但是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的关系：i=-(h+k)，因此，可以由前两个指数求得第三个指数。六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中。从图看出，采用四指数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数。例如：共6个等价面(Ⅰ型棱柱面)。共6个等价面(Ⅱ型棱柱面)。而{0001}只包括(0001)一个晶面，称为基面。六方晶体中比较重要的晶面族还有，请读者写出其全部等价面。图11六方晶体中常见的晶面（2）六方晶系晶向指数的标定采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个轴分解成四个分量，晶向OP可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图12中a1轴为[0112]，a2轴[0121]，a3轴[2011]均属〈0112〉，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]，再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C轴垂直底面，a1、a2轴在底面上，其夹角为120o，如图12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如[100]，[010]，[011]，见图12。图12六方晶系的一些晶面与晶向指数六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下)2(31VUu，)2(31UVv，)(vut，Ww。例如，[011]→[2011]，[100]→[0112]，[010]→[0121]，这样等同晶向的晶向指数的数字都相同。标定方法通常采用行走法。用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时，会遇到一个新的问题，即解是不唯一的。例如，a1轴的指数可以是，也可以是[2000]；a2轴的指数可以是，也可以是[0200]。分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具有类似的四指数，就需要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零。若将晶向指数写成[UVTW]，则上述附加条件可写成：U+V+T=0，或T=-(U+V)。按照这个附加条件，上述a1轴的指数就应该是，而不是[2000]；同样，a2和a3轴的指数分别是和。图13中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数，它们是[0001]，，等等。图13六方晶体中常见的晶向除上述几个特殊晶向外，对一般的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难保证在沿a1，a2，a3和c轴分别走了U，V，T和W步后既要到达晶向上的另一点，又要满足条件T=-(U+V)。比较可靠的标注指数方法是解析法。该法是先求出待标晶向在a1，a2和c三个轴下的指数u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数U，V，T，W。(1-1)T=-(U+V)W=w此公式可证明如下。由于三指数和四指数均描述同一晶向，故：Ua1+Va2+Ta3+Wc=ua1+va2+wc(1-2)又由几何关系：a1+a2=-a3(1-3)再由等价性要求：T=-(U+V)(1-4)解以上三个联立方程，即得到：u=2U+V，v=2V+U，w=W(1-5)(1-5)式和(1-1)式可用矩阵表示如下：==下面举两个例子。例1请写出a1轴的晶向指数。解：从晶胞图直接得到：u=1，v=0，w=0，按(1-1)式算得：故。例2请写出a2和-a3交角的平分线D的晶向指数。解：从晶胞图可看出：D=a1+(-a3)=2a1+a2，得u=2，v=1，w=0，代入(1-1)式得到：U=1，V=0，T=-1，W=0，故。5立方和六方晶体中重要晶向的快速标注在以后各章将多次遇到立方和六方晶体中的一些低指数重要晶向，需要迅速确定其指数。根据上述标定指数的方法，我们归纳出一条快速标定晶向指数的口诀，即：“指数看特征，正负看走向”。就是说，根据晶向的特征，决定指数的数值；根据晶向是“顺轴”（即与轴的正向成锐角）还是“逆轴”（即与轴的正向成钝角），决定相应于该轴的指数的正负。下面具体讨论立方和六方晶体中的各重要晶向。（1）立方晶体