第二章拉普拉斯变换

page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院1主要内容第一节拉普拉斯变换简介第二节拉普拉斯变换的性质第三节拉普拉斯反变换第四节用拉普拉斯变换解线性微分方程page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院2拉普拉斯变换(LaplaceTransform)（简称拉氏变换）是一种解线性微分方程的简便运算方法。第一节拉普拉斯变换简介page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院3dtetfsFtfLst0)()()]([原函数(OriginalFunction)象函数(ImageFunction)一、拉普拉斯变换的定义设时间函数,则的拉普拉斯变换定义为0)(ttf，)(tfpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院4一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)在t0时，0)(tf(2)在t≥0的任一有限区间内，是分段连续的；)(tf(3)当t→﹢∞时，)(tf的增长速度不超过某一指数函数，即)()(为实常数和kMMetfktpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院5如果复变函数是时间函数的拉氏变换，则称为的拉氏逆变换，或拉氏反变换。记为：)(sF)(tf)(tf)(sF)]([)(1sFLtfpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院6二、典型时间函数的拉氏变换单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。常用的时间函数有：page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院7（一）单位脉冲函数)(t1t0图2-1-1单位脉冲函数单位脉冲函数(UnitImpulseFunction)也称为函数或称狄拉克函数(DiracFunction)，其变化曲线如图2-1-1，000)(ttt数学表达式为：page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院81)()(00dttdtt)0()()(fdttft0[()]()1stLttedt其拉氏变换为函数具有如下重要性质任意连续函数page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院9（二）单位阶跃函数图2-1-2单位阶跃函数)(tu10t单位阶跃函数(UnitStepFunction)又称位置函数通常用或1(t)来表示。其变化曲线如图2-1-2所示。)(tu数学表达式为0100)(tttu()ut的拉氏变换为00)()]([dtedtetutuLststs1page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院10（三）单位斜坡函数其拉氏变换为单位斜坡函数(UnitRampFunction)又称速度函数，其变化曲线如图2-1-3所示。0dttest图2-1-3单位斜坡函数)(trtot000)(ttttr数学表达式为0)()]([dtetrtrLst001)(1dtestesstst21spage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院11（四）单位加速度函数其拉氏变换为31s单位加速度函数（UnitAccelerationFunction）又称抛物函数(ParabolicFunction)，其变化曲线如图2-1-4。数学表达式为02100)(2ttttr02021)()]([dtetdtetrtrLststr(t)图2-1-4单位加速度函数0tpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院12as1as1dteeeLstatat0][其拉氏变换为（五）指数函数指数函数(ExponentialFunction)分为指数增长函数和指数衰减函数。变化曲线如图2-1-5所示。数学表达式为r(t)=eat(指数增长函数)r(t)=e-at(指数衰减函数)其中a0。dteeeLstatat0][图2-1-5指数函数0r(t)t1ateatepage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院1322s0sin][sindtettLst其拉氏变换为（六）正弦函数正弦函数（SineFunction）的数学表达式为ttrsin)((t≥0)式中，为正弦函数的角频率。0jjd)(j21teeestttpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院140cos][cosdttetLst其拉氏变换为22ss（七）余弦函数0jjd)(21teeesttt余弦函数（CosineFunction）的数学表达式为ttrcos)((t≥0)page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院15(八)幂函数幂函数（PowerFunction）的数学表达式为nttr)((t≥0,n-1且为整数)其拉氏变换为tettLstnnd][01][nnsntL！单位阶跃函数、单位斜坡函数及单位加速度函数分别是幂函数当n=0、n=1及n=2时的特例。)1(ntnpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院16注:欧拉公式cossinjtetjtpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院17一、线性性质(Linearity)第二节拉普拉斯变换的性质线性性质指同时满足叠加性和齐次性。叠加性(AdditivityProperty)：指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。如，则。2211crcr，213213cccrrr齐次性(HomogeneityProperty)：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：，则。crkckrpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院18)]()([21tbftafL)()(21sbFsaF则)()]([11sFtfL)()]([22sFtfL若有，a和b为常数page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院19)](3cos1[32ttteLt例2-2求。解：)(cos3e132tttLttLtLtLLLt323cose116921142ssssspage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院20)()]([sFeatfLas二、延时定理（Time-ShiftTheorem）)()]([sFtfL若有，对任意实数a,则page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院21三、周期函数的拉氏变换若函数是以T为周期的周期函数,即，则有)(tf)()(tfTtfttftfstdeL0ttfttfttfstTnnTstTTstTdedede120ttfstnTnnTde01page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院22四、复数域位移定理(Complex-ShiftingTheorem)asFtfLate)()]([sFtfL若，对于任意常数a(实数或复数)，有page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院23五、时间尺度改变性质(ChangeofTimeScale)时间尺度改变性质又称相似定理或称尺寸变换特性(ScalingProperty)或称压扩特性(CompandingProperty)。)()]([sFtfL若，a是任意常数，则)(1)]([asFaatfLpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院24六、微分性质(DifferentiationProperty)则若)()]([sFtfL)0()()]([fssFtfdtdLf(0)为时间函数f(t)在t=0处的初始值。注意，本书假设f(0-)=f(0+)=f(0)。)()]([sFtfL12(1)()()(0)(0)(0)nnnnnndftLsFssfsffdt推论若，则特别地，当时，有(1)(0)(0)(0)0nfff)()]([)(sFstfLnnpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院25七、积分性质(IntegrationProperty)则若)()]([sFtfL(1)0()(0)()tFsfLftdtss(-1)00(0)()ttfftdt其中(1)(2)n1000()111()()()(0)(0)1(0)tttnnnnLftdtFsffsssfs)()]([sFtfL推论若则page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院26当初始条件为零时，(1)(2)()(0)(0)(0)0nfff)(1)(0sFsdttfLt)(1))((n000sFsdttfLtttnpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院27八、初值定理(InitialValueTheorem))(limssFs)(lim)(lim)0(0ssFtffst)()]([sFtfL若，且存在，则九、终值定理(FinalValueTheorem)存在，则，且若tfsFtfLtlim)()]([)(lim)(lim0ssFtffstpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院28解：由初值定理和终值定理得ssFfslim0asss1lim01asss1limssFfs0lim0例2-8已知（a0），求。ff和0assF1page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院29十、复微分定理(Complex-DifferentiationTheorem)则若)()]([sFtfL[()]()dLtftFsds十一、复积分定理(Complex-IntegrationTheorem)则若)()]([sFtfL()()sftLFsdstpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院30十二、卷积定理(ConvolutionTheorem)两函数f1(t)和f2(t)的卷积定义为1212()*()()()ftftfftd卷积满足以下性质：（1）交换律1221()()()()ftftftft（2）结合律123123()[()()][()()]()ftftftftftft（3）分配律1231213()[()()]()()()()ftftftftftftftpage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院31，，若)()]([)()]([2211sFtfLsFtfL拉氏变换的卷积定理：，时，且当0021tftft则121212[()()][()][()]()()LftftLftLftFsFspage控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院3211()()()2jstjftLFsFsedsj第三节拉普拉斯反变换已知象函数，求其原函数的变换称作拉氏反变换（InverseLaplaceTransform），记为：，并定义为)(sF()ft1()LFs通常求拉氏反变换的方法有：(1)查表法(3)部分分式法(2)有理函数法page控制工程基础第二章拉普拉斯变换机电工程学院33一般象函数可以表示成如下的有理分式101110111212()()()()()()()()()mmmmnnnnmnbsbsbsbBsFsAsasasasaKszszszspspsp式中，和分别为F(s)的极点和零点，它们是实数或共轭复数，且nm。根据极点种类的