《导学教程》2012届高三数学(理)二轮复习精品课件：专题三第二讲-数列求和及综合应用

第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练第二讲数列求和及综合应用第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练求和问题(1)基本公式法：若{an}是等差数列，公差为d，首项为a1，则Sn＝＝na1＋an2.若{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则.(2)分组求和．(3)裂项求和．(4)错位相减法求和．na1＋12n(n－1)dSn＝na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练1．(2011·安徽)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝A．15B．12C．－12D．－15解析∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.答案A第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练2．(2011·北京)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析∵{an}为等比数列，且a1＝12，a4＝－4，∴q3＝a4a1＝－8，∴q＝－2，∴an＝12·(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝12(2n－1)＝2n－1－12.答案－2；2n－1－12第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练3．(2011·浙江)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，设数列的前n项和为Sn，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式及Sn；(2)记An＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn，Bn＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．解析(1)设等差数列{an}的公差为d，由1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a.所以an＝na，Sn＝ann＋12.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练(2)因为1Sn＝2a1n－1n＋1，所以An＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn＝2a1－1n＋1.因为a2n－1＝2n－1a，所以Bn＝1a1＋1a2＋1a22…＋1a2n－1＝1a·1－12n1－12＝2a1－12n.当n≥2时，2n＝C0n＋C1n＋…＋Cnn＞n＋1，即1－1n＋1＜1－12n，所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n项和的问题是数列中的中、低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n项和的性质即可正确得出结果．除此之外，数列与其他知识的综合也是高考中常考的内容，如方程、函数、不等式、数学归纳法、向量等都可成为综合的对象，这类题目在高考中大多属于中、高档难度问题，在很多省份的高考试卷中以压轴题的形式出现，但在复习这部分内容时还是要注意对基础知识的梳理，把握通性通法，不必刻意追求难度．第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练分组求和已知数列{an}满足an＝2nn为奇数nn为偶数，试求其前n项和．【解析】(1)当n为奇数时，Sn＝(a1＋a3＋a5＋…＋an)＋(a2＋a4＋a6＋…＋an－1)＝21－4n＋121－4＋n－12×2＋n－12n－12－12×2＝13·2n＋2＋n24－1112.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练(2)当n为偶数时，Sn＝(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋an)＝21－4n21－4＋n2×2＋n2n2－12×2＝13·2n＋1＋n24＋n2－23.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练有些数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这些数列进行恰当的分拆后能得到几个等差数列、等比数列或常见的、容易求和的数列，则应将它进行合理的分拆，以便求和．第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练1．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解析(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n(n∈N＋)．(2)Sn＝21－2n1－2＋n×1＋nn－12×2＝2n＋1＋n2－2.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练裂项法求和已知数列{an}的各项均是正数，其前n项和为Sn，且满足(p－1)Sn＝p2－an，其中p为正常数，且p≠1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝12－logpan(n∈N＋)，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练【解析】(1)由题设知当n＝1时，(p－1)a1＝p2－a1，解得a1＝p.同时p－1Sn＝p2－an，p－1Sn＋1＝p2－an＋1，两式作差，得(p－1)(Sn＋1－Sn)＝an－an＋1.所以(p－1)an＋1＝an－an＋1，即an＋1＝1pan，可见，数列{an}是首项为p，公比为1p的等比数列．所以an＝p1pn－1＝1pn－2.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练(2)bn＝12－logpp2－n＝12－2－n＝1n.因为bnbn＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，所以Tn＝b1b2＋b2b3＋b3b4＋…＋bnbn＋1＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练裂项相消法求和的几种常见类型(1)1nn＋k＝1k1n－1n＋k(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)(3)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1(4)1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练(5)若{an}是公差为d的等差数列，则1an·an＋1＝1d1an－1an＋1(6)1a＋b＝1a－b(a－b)在应用裂项法求形如1nn＋k数列的前n项和时，裂项时，容易漏掉1k而误为1nn＋k＝1n－1n＋k，需注意．第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练2．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜m20对所有n(n∈N＋)都成立的最小正整数m.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练解析(1)设函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5(n∈N＋)．第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练(2)由(1)，知bn＝3anan＋1＝36n－5[6n＋1－5]＝1216n－5－16n＋1，故Tn＝∑ni＝1bi＝121－17＋17－113＋…＋16n－5－16n＋1＝121－16n＋1.因此，要使121－16n＋1＜m20(n∈N＋)成立，则m需满足12≤m20即可，则m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练错位相减法求和(12分)(2011·郑州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N＋)．(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式Tn－22n－1＞2010的n的最小值．第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练【标准解答】(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N＋)．两式相减得an＝2an－1＋1.所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N＋)，所以数列{an＋1}为等比数列．(4分)因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.(6分)(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练①－②得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n＋11－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.(8分)若Tn－22n－1＞2010，则2＋2n－1·2n＋1－22n－1＞2010，即2n＋1＞2010.(10分)由于210＝1024,211＝2048，所以n＋1≥11，即n≥10.所以满足不等式Tn－22n－1＞2010的n的最小值是10.(12分)第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练1．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和可用错位相减法．2．应用错位相减法求和时，需注意：(1)给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论．(2)在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练3．设数列{an}是公差大于0的等差数列，a3，a5分别是方程x2－14x＋45＝0的两个实根．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋12n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)∵方程x2－14x＋45＝0的两个根分别为5、9，∴由题意可知a3＝5，a5＝9，∴d＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.第一部分专题三数列、推理与证明数学理科2012·高考专题辅导与训练(2)由(1)可知，bn＝an＋12n＋1＝n·12n，∴Tn＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n－1)×12n－1＋n·12n①∴12Tn＝1×122＋2×123＋…