1.2 第2课时导数公式表及数学软件的应用课件

路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版•选修2-2成才之路·数学导数及其应用第一章1.2导数的运算第2课时导数公式表及数学软件的应用第一章课前自主导学1课堂互动探究2学法归纳总结3课后强化作业4课前自主导学高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求f(t)的导数．根据导数的定义，就是求当Δt→0时，ΔyΔt所趋近的那个定值．运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sinx，y＝lnx等很难运用定义求导数．是否有更简便的求导数的方法呢？1．知识与技能能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数．2．过程与方法通过本节的学习掌握导数公式求导数的方法．3．情感态度与价值观通过使用数学软件求导数的过程，体会算法思维，进一步感受数学的应用价值．本节重点：应用导数公式表求导数．本节难点：导数公式的应用.基本初等函数的导数公式：(1)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝_______；(2)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝__________；(3)若f(x)＝ax，则f′(x)＝__________(a＞0)；(4)若f(x)＝ex，则f′(x)＝______；(5)若f(x)＝logax，则f′(x)＝________(a＞0，且a≠1)；(6)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝____.cosx－sinxaxlnaex1xlna1x课堂互动探究导数的运算求下列函数的导数．(1)y＝ex；(2)y＝10x；(3)y＝lgx；(4)y＝log12x；[分析]利用基本初等函数的导数公式求解．(5)y＝4x3；(6)y＝sinx2＋cosx22－1.[解析](1)y′＝(ex)′＝ex.(2)y′＝(10x)′＝10xln10.(3)y′＝(lgx)′＝1xln10.(4)y′＝(log12x)′＝1xln12＝－1xln2.(5)y′＝(4x3)′＝(x34)′＝34x－14＝344x.(6)∵y＝sinx2＋cosx22－1＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.[说明]熟记基本初等函数的求导公式，是计算导数的关键．特别注意各求导公式的结构特征，弄清(ex)′与(ax)′，(lnx)′与(logax)′的差异，防止混淆．对于不具备基本初等函数特征的函数，应先变形，后求导．求下列函数的导数：(1)y＝1ex；(2)y＝110x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg3x；(5)y＝2cos2x2－1.[解析](1)y′＝1ex′＝1exln1e＝－1ex＝－e－x.(2)y′＝110x′＝110xln110＝－ln1010x＝－10－xln10.(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0.(4)∵y＝3lg3x＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝1xln10.(5)∵y＝2cos2x2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.求函数在某点处的导数(1)求函数y＝ax在点P(3，f(3))处的导数；(2)求函数y＝lnx在点P(5，ln5)处的导数．[分析]已知函数的解析式，求函数在某定点处的导数，可先求出函数的导函数，再求导函数在相应点的函数值．[说明]求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：①先求函数的导函数；②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[解析]∵y＝ax，∴y′＝(ax)′＝ax·lna，则y′|x＝3＝a3·lna.(2)∵y＝lnx，∴y′＝(lnx)′＝1x，则y′|x＝5＝15.(1)求y＝logax在x＝2处的导数；(2)求y＝cosx在π4，22处的导数．[解析](1)∵y＝logax，∴y′＝(logax)′＝1x·lna.则f′(2)＝12lna.(2)∵y＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.则f′π4＝－sinπ4＝－22.求函数在某点处的切线方程求过曲线y＝sinx上的点Pπ4，22且与在这点处的切线垂直的直线方程．[解析]∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.∴经过这点的切线的斜率为22，从而可知适合题意的直线的斜率为－2.∴y′|＝cosπ4＝22.∴由点斜式得适合题意的直线方程为y－22＝－2(x－π4)，即2x＋y－22－24π＝0.[说明]在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．求曲线y＝cosx在点A(π6，32)处的切线方程．[解析]∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.y′|＝－sinπ6＝－12，∴k＝－12.∴在点A处的切线方程为y－32＝－12(x－π6)．即6x＋12y－63－π＝0.下列各式中正确的是()A．(sinα)′＝cosα(α是常数)B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－15x－6[错解]A[辨析]当α为常数时，sinα也是常数．所以(sinα)′＝0.[正解]C学法归纳总结1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．2．将xa的求导公式与ax的求导公式对比记忆，两公式最易混淆；将ax的求导公式与logax的求导公式强化记忆，此两公式最难记；将sinx的求导公式与cosx的求导公式对比记忆，注意正负号．