莱布尼茨与微积分

莱布尼茨与微积分今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有像十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。”接下来我将从五个方面来介绍莱布尼茨的生平事迹。一、人物简介戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。二、人物生平早期（致力于哲学）：1.生于公元1646年7月1日书香之家，父亲道德哲学教授，母亲出身于教授家庭。2.8岁时，莱布尼茨进入尼古拉学校，学习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑、音乐以及《圣经》、路德教义等。3.1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律。4.1663年5月，他以《论个体原则方面的形而上学争论》一文获学士学位。晚期（致力于自然科学）：1.1667年2月，莱布尼茨发表了他的第一篇数学论文《论组合的艺术》2.1672年，莱布尼茨作为一名外交官出使巴黎，深受惠更斯的启发，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作，开始微积分的创造性工作。3.1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。4.1686年发表他的第一部积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，提出摆线方程2222dxyxxxx，这篇论文中第一次出现在印刷板物上。5.1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。6.公元1716年11月14日，由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70岁。三、个人成就（一）微积分的创立1．创立了很多微积分符号1675年到1677年他创造出了,,dxdy这些符号，用dx表示相邻两个x的差；dy表示相邻两个y的差，也是函数的微分；用dydx表示成切线的斜率；代替了以前的和号“omn”（是sum的第一个字母）；ydx表示面积。2.给出了dy的演算法则加法和减法：如果vxywz，则dvdxdydwdz乘法：,yvxdyxdvvdx除法：2vvdyydvdyy，等。3.微积分基本定理莱布尼兹在手稿中阐述：给定一条曲线，其纵坐标为y，求该曲线下的面积。他假设可以求出一条曲线（他称之为割圆曲线），它的纵坐标为z，使得：dzydx即dzydx。他发现曲线的面积ydxdzz，莱布尼兹通常假设曲线z通过原点。这就将求面积的问题转化成了反切线的问题，即要求曲线的面积只需要找到一条曲线，使它的切线的斜率为dzydx，如果实在区间,ab上，则只需用在0,b的面积减去0,a的面积便得到baydxzbza。问题的关键：没有发现微分和积分是互逆的两种运算，而这正是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。微积分创建工作的完成：1、莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。对微积分的创建有着划时代的意义。2、莱布尼茨从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出微积分运算法则。3、莱布尼茨创建巧妙简洁的微积分符号，对微积分的发展有极大影响。4、1713年，莱布尼茨发表《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创建微积分的历程。牛顿、莱布尼兹创立微积分的比较：牛顿坚持唯物论的经验论,特别重视实验和归纳推理。他在研究经典力学规律和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,，因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法。“牛顿的研究采用了最初比和最后比的方法。他认为流数是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬间的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬间的比值。”这个解释太模糊了,算不上精确的数学概念,只不过是一种直观的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中的每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。这样他就给出了极限的观点。莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”,他从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值;求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和。莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的。莱布尼兹用无穷小的思想给出了微积分的基本定理,并发展成为高阶微分。莱布尼兹在微积分的研究过程中,连续性原则成为其工作的基石,而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想。一、牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点：1、都使微积分不再是几何学的延伸，建立在符号运算的基础上，具有一般性，使之成具有广泛应用的学科；2、把求积问题归结为微分问题的逆问题，从而建立了微积分基本定理；3、把微积分建立在实无穷小的基础上，后来他们为回避无穷小运算上的矛盾，不自觉地使用了极限概念；4、用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来;都研究了微分与反微分之间的互逆关系。二、牛顿和莱布尼兹创立微积分的不同点：1、他们建立微积分的出发点不同。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。2、微积分工作的侧重点不同。牛顿关心微积分体系和基本方法的建立；而莱布尼兹运算公式的建立与推广。在积分上，牛顿偏重于求积分的逆运算，即不定积分；而莱布尼茨侧重于求微分的和，即定积分。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。3、对微积分具体内容的研究不同。牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有积分概念，后有导数概念。4、对无穷小认识的程度不一样。牛顿不分阶，而莱氏分阶，认识比前者深刻。虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法不同，但他们殊途同归，各自独立完成了创建微积分的盛业，正是因为有了牛顿与莱布尼兹的工作，才使微积分成为独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响。他们创立的微积分,对科学发展具有深远的影响（二）数学上的贡献1、始创微积分。2、对负数和复数的性质的探讨。3、首次引入行列式的概念。4、数理逻辑的首创者和真正奠基人。（三）物理方面的贡献1、提出了能量守恒定律的雏形。2、证明了永动机的荒谬性。3、提出马里奥特——莱布尼茨理论。4、利用微积分求极值的方法推导出折射定律。（四）哲学突出了著名的“单子论”“没有两片完全相同的树叶，世界上没有性格完全相同的人。”——莱布尼茨（五）“乘法机”的发明受八卦启发，率先为计算机设计系统提出二进制运算法则，为计算机的现代发展奠定了基础。能进行乘除运算的“乘法机”的发明。四、著作目录1663年5月，以《论个体原则方面的形而上学争论》一文获学士学位。1664年1月，莱布尼茨完成了论文《论法学之艰难》，获哲学硕士学位。1667年2月他以论文《论身份》获法学博士学位。1667年发表了他的第一篇数学论文《论组合的艺术》。1684年10月发表论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，人们公认他是世界语的先驱。1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，人们公认他是世界语的先驱。1693年，莱布尼茨发表《原始地球》一书一定程度上促进了19世纪地质学理论的发展。1703发表论文《二进位算术的阐述—关于只用0和1兼论其用处及伏羲氏所用数字的意义》，为二进制的创立奠定了基础。1713年，莱布尼茨发表《微积分的历史和起源》一文，总结了其独立创建微积分的总过程。五、评价“当一个人考虑到自己并把自己的才能和莱布尼茨的才能来作比较时，就会弄到恨不得把书都丢了去找个世界上比较偏僻的角落藏起来以便安静的死去。这个人是混乱的大敌：罪错综复杂的事物一进入他的心灵就弄得秩序井然。他把两种几乎不相容的品质结合在一起了，这就是探索发现的精神和讲求条理的精神；而他借以积累起最广泛的各种不同种类知识最坚毅又最五花八门的研究既没有剥弱这一品质，也没有剥弱另一种品质。就哲学家和数学家这两个词所能具有的最充分的意义来说，他是一位哲学家和一位数学家。”——狄德罗六、总结莱布尼茨是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。莱布尼茨科学天才远远不止我们这儿介绍的这么简简单单，他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等。他是单子论奠基人，微积分的创立者，数理逻辑的先驱，中西文化交流之倡导者。