随机过程的功率谱密度

第五讲：小结平稳随机过程),,,,,(),,,,,(1111nnXnnXttxxfttttxxf严格平稳随机过程广义平稳随机过程2121),(),(ttRttRXXXXmtm)(平稳随机过程自相关函数性质)(XR2X)0(XR2Xm0相关函数示意图第五讲：小结平稳随机过程相关系数222)()()(XXXXXXmRKr相关时间00)(drX05.0)(0Xr)(Xr100相关时间示意图随机过程的遍历性平稳随机过程满足：XPXmm)()(XPXRR1ˆ()2TXTmxtdtT1ˆ()()()2TXTRxtxtdtT'1111(,,,)XYFxytt'1111{(),()}PXtxYty二维联合分布函数：'1111(,,,)XYfxytt2'111111(,,,)XYFxtytxy二维联合概率密度：一、联合分布''1111(,,,,,,,,,,)XYnmnmFxxyytttt})(,,)(,)(,,)({'1'111mmnnytYytYxtXxtXPn+m维联合分布函数：''1111(,,,,,,,,,,)XYnmnmfxxyytttt''111111(,,,,,,,,,,)nmXYnmnmnmFxxyyttttxxyyn+m维联合概率密度：一、联合分布二、两随机过程的相互关系121212(,)[()()](,,,)XYXYRttEXtYtxyfxyttdxdy互相关函数：互协方差函数：)]}()()][()({[),(221121tmtYtmtXEttKYXXY)()(),(2121tmtmttRYXXY若，则X(t)与Y(t)正交；若，则X(t)与Y(t)不相关；0),(21ttRXY0),(21ttKXYX(t)与Y(t)独立；''1111(,,,,,,,,,,)XYnmnmfxxyytttt''1111(,,,,)(,,,,,)XnnYmmfxxttfyytt两随机过程的相互关系：联合平稳的定义：2121),(),(ttRttRXYXY()()()()XYYXXYYXRRKK性质：2222()(0)(0)()XYXYXYXYRRRK是平稳的。)(tX)(tY)()()(tYtXtZ若与是联合平稳的，则YXYXXYYXXYXYmmRKKKr)()0()0()()(互相关系数：如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足(,))sin()(0ttX)cos()(0ttY0例1、设其中为常数，在上均匀分布，求互协方差函数。dtetsStj)()(dtts)(频谱：221()()()21()()21()2jtjtstdtstSeddtSstedtdSd1()()2jtstSed能谱密度：信号的能量按频率分布的情况信号的总能量复习TtTttxtxT0)()()(tx)(txTtTT20T随机过程的样本函数及其截尾函数截取函数：TTtjtjTTdtetxdtetxX)()()(221()()2TTTTxtdtXd211lim()22TTXdT1lim2TT1lim2TT时间平均功率功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况[E][E]一、随机过程的功率谱密度221()()2TTTxtdtXd211lim()22TTXdT1lim2TT1lim2TT时间平均功率功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况[E][E]22111[lim()][lim()]222TTTTTExtdtEXdTT21()[lim()]2XTTGEXT211[lim()]22TTEXdTP()XG随机过程的功率谱密度：随机过程的平均功率平稳随机过程：deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(000)(2)(XXGF物理谱定义：维纳－辛钦定理傅里叶变换对)()2sin(2)2sin()(21ttftftx020040060080010001200-505020040060080010001200140016001800200001020300200400600800100012001400160018002000-40-2002040频谱功率谱平稳随机过程：()()jXXGRed21()[lim()]2XTTGEXT0()cos()sinXXRdjRd02()cosXRd实平稳随机过程的功率谱是实的、非负的偶函数。deGRjXX)(21)(01P例2、已知功率谱密度为求相关函数。9104)(242XG例3、若平稳过程X(t)的功率谱密度为求相关函数。22]1[1)(XG二、平稳随机序列的功率谱密度()()jmXXmGRme对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度1()()2jmXXRmGed21(0)[()]()2XXREXnGd傅里叶变换对mmXXzmRzG)()(Z变换形式：DmXXdzzzGjmR1)(21)(jez()()()()XXXXRmRmGG)()(1zGzGXX实平稳随机序列的功率谱是实的、非负的偶函数。性质：()(cos)XXGG三、互功率谱密度及其性质)}()(21lim{)(TTTXYYXTEGTTtjTdtetXX)()(TTtjTdtetYY)()(其中：若X(t)及Y(t)联合平稳，有)()(XYXYGR()()jXYXYGRed1()()2jXYXYRGed性质：)()()(*YXYXXYGGG)](Re[XYG)](Re[YXG)](Im[XYG)](Im[YXG与是的奇函数；是的偶函数；与若X(t)与Y(t)正交，则0)()(*YXXYGG若不相关，则)()(*YXXYGG)(2YXmm2()()()XYXYGGG例、已知随机过程Z(t)=aX(t)+bY(t)，a、b为常数，X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，求：(1)Z(t)的功率谱密度；(2)X(t)、Y(t)不相关时Z(t)的功率谱密度；(3)X(t)、Y(t)分别与Z(t)的互谱密度。第六讲：小结})(,)({),,,(22112121xtXxtXPttxxFX随机过程的联合分布121212(,)[()()](,,,)XYXYRttEXtYtxyfxtytdxdy互相关函数：互协方差函数：121212(,)(,)()()XYXYXYKttRttmtmt()()()(0)(0)XYXYXYXYXYXYKRmmrKK互相关系数：广义联合平稳的定义：(),(),XXYYmtmmtm2121),(),(ttRttRXYXY随机过程的功率谱密度21()[lim()]2XTTGEXT功率谱定义：平稳随机过程：维纳－辛钦定理()()XXRG性质：实平稳随机序列的功率谱是实的、非负的偶函数。21(0)[()]()2XXREXnGd互功率谱定义：)}()(21lim{)(TTTXYYXTEGX(t)及Y(t)联合平稳：)()(XYXYGR性质：)()()(*YXYXXYGGG)](Re[XYG)](Im[XYG是的奇函数；是的偶函数；作业：2.31,2.36,2.39