第4章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质

普通高等教育“十一五”国家级规划教材《傅里叶光学•第2版》电子教案周哲海吕乃光编著机械工业出版社第四章透镜的位相调制和傅里叶变换性质分析方法：(孔径+透镜)(有限大小,有衍射作用,位相变换作用)+光在自由空间的传播(菲涅耳衍射)逐面计算,在不同的几何配置下可以得到傅里叶变换或成像目的与分析方法目的：从单透镜的位相变换作用入手,导出透镜的傅里叶变换性质和成像性质；将透镜成像看成线性不变系统的变换，研究评价透镜成像质量的频域方法。本章主要内容1、透镜的位相调制作用2、透镜的傅里叶变换性质3、光学频谱分析系统光学成像系统是一种最基本的光信息处理系统，它用于传递二维的光学图像信息。光波携带输入图像信息（图像的细节、对比等）从光学系统物面传播到像面，输出的图像信息取决于光学系统的传递特性。对于相干与非相干照明的成像系统可以分别给出其本征函数，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，考察这些空间频率分量在系统传递过程中，衰减、相移等等变化，研究系统空间频率特性即传递函数。这是一种全面评价光学系统传递光学信息的能力的方法，也是一种评价光学系统成像质量的方法。光学成像系统的频率特性透镜是光学系统的最基本的元件，具有成像和光学傅里叶变换的基本功能，本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质；透镜可以用来实现透过物体的光场分布的夫琅和费衍射，而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用；无像差的正薄透镜对点光源的成像过程是点物成点像，从波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波；发散球面波和会聚球面波在透镜平面上都具有球面波的二次位相因子，因此透镜的功能就是改变二次位相因子的大小，实际上也就是具有附加的二次位相因子。透镜的位相变换作用基本假设•透镜是薄的,忽略折射引起的光线的横向偏移•透镜无吸收,完全透明,均匀,折射率为n，不改变光场振幅,仅改变位相•透镜孔径为无限大(以后再考虑孔径影响)透镜的位相变换作用1、透镜的位相调制作用1.1透镜对入射波前的作用——分析复振幅透过率透镜的复振幅透过率：),(),(),(yxUyxUyxtlllUl(x,y)和Ul(x,y)分别是紧靠透镜前后平面上的光场复振幅分布。下面从复振幅透过率的定义式导出复振幅透过率。这是在傍轴近似下的完善成像，发散球面波经过透镜变换成会聚球面波。1、透镜的位相调制作用在傍轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的复振幅分布为2200,expexp2lkUxyAjkdjxyd22,expexp2liikUxyAjkdjxyd则透镜复振幅透过率表示为：222200expexp2,,,expexp2iilllkAjkdjxydUxytxyUxykAjkdjxydkreraPUj0)(kreraPUj0)(2200,expexp2lkUxyAjkdjxyd22,expexp2liikUxyAjkdjxydzyxzr222zr在傍轴近似下，1、透镜的位相调制作用则透镜复振幅透过率表示为：220011expexp2iikjkddjxydd222200expexp2,,,expexp2iilllkAjkdjxydUxytxyUxykAjkdjxyd(常数项)(调制项)对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相对空间分布，分析时可忽略掉。对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换为会聚球面波。1、透镜的位相调制作用根据几何光学中介绍的透镜成像公式0111iddf(为透镜的焦距)2222011expexp22ikkjxyjxyddf因此，透镜的复振幅透过率或透镜的位相调制因子(相位变换因子)：220,,expexp,2llilUxyktxyjkddjxyUxyf结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功能。1、透镜的位相调制作用透镜本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜的不同部位时，经过的光程差不同，即所受时间延迟不同，从而使得光波的等相位面发生弯曲。等相位面透镜对透射的光波具有位相调制的功能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？Answer:1、透镜的位相调制作用薄透镜：忽略光线在透镜内由于折射而产生的平移(忽略了折射效应)。薄透镜的作用：忽略吸收，仅使入射波前产生相位延迟，其大小正比于透镜各点的厚度。把透镜看成是一个相位型的衍射屏。透镜的相位变换(位相调制)函数：（复振幅透过率函数）),(jexp),(yxyxtl1.2透镜的厚度函数主要考虑薄透镜的情况从另一角度-厚度函数导出透过率L(x,y)1、透镜的位相调制作用,exp,exp,ltxyjxyjkLxyL(x,y)是Q到Q之间的光程：),()1(),(),(),(00yxnyxyxnyxL则0,expexp1,ltxyjkjknxy0,expexp1,ltxyjkjknxy透镜的相位变换(位相调制)函数：1、透镜的位相调制作用0,expexp1,ltxyjkjknxy上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)，就可以根据该式得到其位相调制。透镜的相位变换(位相调制)函数：（复振幅透过率函数）下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球面的曲率半径R1和R2)之间的关系。1、透镜的位相调制作用为求出厚度函数，将透镜一剖为二，如图所示：符号规则：为使导出的公式适合于不同类型的透镜，规定：当光线从左到右时，它遇到的每个凸面的曲率半径为正，而每个凹面的曲率半径为负。22211101),(yxRRyx22222202),(yxRRyx22211yxRR22222yxRR21221102221110111),(RyxRyxRRyx22222202222220211),(RyxRyxRRyx1、透镜的位相调制作用2222221122222222112112xyxyRRxyxyRR仅考虑傍轴光，(x2+y2)足够小2201211,2xyxyRR2122110111),(RyxRyx2222220211),(RyxRyx厚度函数1、透镜的位相调制作用1、透镜的位相调制作用1.3透镜的复振幅透过率根据厚度函数的表达式，可得到在傍轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生的位相延迟0,expexp1,ltxyjkjknxy2201211,2xyxyRR2201211,expexp12lxytxyjknjknRR121111nfRR(n为透镜材料的折射率)1、透镜的位相调制作用220,expexp2lktxyjknjxyf常数因子透镜位相因子2201211,expexp12lxytxyjknjknRR121111nfRR以上推导的关系适用于各种形式的薄透镜，而且是在傍轴近似条件下推导出来的。透镜相位变换函数：在分析时，可忽略常数和常相位因子。220,expexp2lktxyjknjxyf220,,expexp,2llilUxyktxyjkddjxyUxyf忽略了常复数因子后，两者相同。——由定义得到——由厚度函数和),(jexp),(yxyxtl得到比较两种方法得到的复振幅透过率1、透镜的位相调制作用1、透镜的位相调制作用透镜的作用：将入射平面波变换为会聚（发散）球面波，如下图所示。理解透镜相位变换的物理意义，可通过考察透镜对垂直入射的单位振幅平面波的效应，来理解透镜相位变换的物理意义。1、透镜的位相调制作用2202jexp)jexp(1),(yxfkknyxUl第一项是常数相位延迟，第二项可理解为球面波的二次曲面近似。1、透镜的位相调制作用入射平面波变换为球面波，这正是由于透镜具有的位相因子，能够对入射波前施加位相调制的结果。fyxk2jexp222202jexp)jexp(1),(yxfkknyxUl1、透镜的位相调制作用1）球面透镜将平面波变换成球面波的结论，在很大程度上依赖于傍轴近似。若在非傍轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将偏离理想球面波，即透镜产生波像差。事实上，常常把透镜表面磨成非球面形式，以减少出射波前对球面的偏离，从而“校正透镜的像差。”2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即1,0Pxy透镜孔径内其他1、透镜的位相调制作用22,exp,2lktxyjxyPxyf其中，22exp2kjxyf表示透镜对入射波前的位相调制；P(x,y)表示透镜对于入射波前大小范围的限制。于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：透镜的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定。1、透镜的位相调制作用透过率的第二种推导方法：（前面已经有了）1、透镜的位相调制作用2、透镜的傅里叶变换性质回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。因此，会聚透镜除具有成像性质外，另一个最突出和最有用的性质就是它能够进行二维FT。正因如此，傅里叶分析方法才得以用于光学。2、透镜的傅里叶变换性质透镜为什么具有这种功能呢？***根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的二次位相因子在起作用；然而出现二次位相因子的原因是透镜的厚度函数。下面将具体分析一下这种作用发生的具体过程，并深入讨论透镜实现傅里叶变换的一些性质。2、透镜的傅里叶变换性质2、透镜的傅里叶变换性质2.1物体放置在透镜前d处透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅里叶变换(空间频谱)；根据透镜的位相调制功能，透镜后端场U2(x,y)为:U1U2U0Uf物体的透射光场透镜前端场透镜后端场后焦面上的场2012-3-312、透镜的傅里叶变换性质2221,,exp2kUxyUxyjxyf从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的场U(x,y)为：221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUxyjxyjxxyydxdyff透镜后端场U2(x,y)为:将U2(x,y)代入:000020200022)](2exp[)](2exp[),()(2exp[)exp(),(dydxyyxxzjyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxU