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第三章导数应用3.2.2最大值、最小值问题一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0),x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0),x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值.一、函数极值的定义知识回顾1、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量(x)的值,极值指的是函数值(y)。注意2、极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,是极大值点,是极小值点,而1x4x41()()fxfx如何用图表来确定函数的极大值与极小值?:)(,的极值点求出函数我们可以通过如下步骤一般情况下xfy1.().fx确定函数的定义域且求出导数.0)(.2xf解方程.,)()3(;,)()2(;,)()1(:),)((,)(,0)(.300000000不是极值点则两侧的符号相同在若为极小值点则左负右正两侧的符号在若为极大值点则左正右负两侧的符号在若确定极值点的单调性即右两侧的符号左在分析的每一个解对于方程xxxfxxxfxxxfxfxxfxxf二、求函数f(x)的极值的步骤:一.最值的概念(最大值与最小值)新课讲授如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.最值是相对函数定义域整体而言的.)(xfba,1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一;注意:2.最大值一定比最小值大.二.如何求函数的最值?1.利用函数的单调性;2.利用函数的图象;3.利用函数的导数.如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.如:求y=(x-2)2+3在区间[1,3]上的最值.2.将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值1.求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值)利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:.2,252)(123最大值与最小值上的在区间求函数例xxxfy.,,.34,0:,043.:21212的符号和函数的单调性分析列表根据得解方程法则可得根据导数公式表和求导首先求导数解yxxxxyxxy-2(-2,0)02+0-0+-11极大值极小值5xy)(xfy)34,0(34)2,34(.5)2(,11)2(,2710334,5)0(:22,34,0.34,0,432121ffffxxxxxx处的值和区间端点极小值点计算函数在极大值点的极小值点是函数是函数的极大值点根据上表可得::112,252;52,252:,42323函数图像如右图所示上的最小值是间在区函数上的最大值是间在区函数可知个数的大小比较xxyxxy-254/32yx??,)2(?,)1(.):():(.,,,48,23最大容积是多少容器的容积最大为多少时截去的小正方形的边长是如何变化的容积的变化随着的函数单位的小正方形的边长是关于截去单位所得容器的容积长方本容器可以做成一个无盖然后折起一个大小相同的正方形四角各截去的正方形铁皮一边长为如图所示例VxcmxcmVcmxx..24,8:,0)().8)(24(12)486)(248()248()248(4)(:,.240,)248()(:.)1(:2122性与极值点的符号得到函数的单调列表分析导函数得解方程可得导法则根据导数公式表示及求定义域为由实际情况可知函数的根据题意可得的函数解析式关于首先写出解xxxVxxxxxxxxfxxxxfVxVx(0,8)8(8,24)+0-极大值)(xf)(xfV).(81928)1648()8(,832cmfVx相应极大值为是函数的极大值点.)(,248;)(,80:是递减的函数时当是递增的函数时当讨论可知根据对函数变化规律的xfVxxfVx.8192,,8).(8192)8(.)(8),8()24,0()2(33cmcmcmfVxfVxf最大容积为得到的容器容积最大时为边长即当截去的小正方形的此时的最大值点数是函因此值都不超过上任意点的函数区间x3/cmvO162488192函数f(x)=ax3+(a–1)x2+48(b–3)x+b的图象关于原点中心对称,则f(x)()A.在[–43,43]上为增函数B.在[–43,43]上非单调C.在[43,+∞)上为增函数,在(–∞,–43]为减函数D.在(–∞,–43]为增函数,在[43,+∞)上也为增函数,D函数y=xlnx在区间(0,1)上是()A.单调增函数B.在(0,e1)上是减函数,在(e1,1)上是增函数C.单调减函数D.在(0,e1)上是增函数,在(e1,1)上是减函数B练习1求函数在区间上的最大值与最小值.2425yxx]2,2[解:xxy4430y令,有0443xx,解得1,0,1x1345413y+0—0+0—2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当x变化时,的变化情况如下表:yy,从表上可知,最大值是13,最小值是4.y’↘↗↘↗练习2求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]内的最大值和最小值解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0,即2x–4=0,得x=2x-1(-1,2)2(2,4)40-+83-1故函数f(x)在区间[-1,4]内的最大值为8,最小值为-1)(xf)(xf例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时,利润L最大。.8125qp分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.281258125qqqqpqR解:收入)2000(1002181)4100(812522qqqqqqCRL利润2141'qL021410'qL,即令求得唯一的极值点84q因为L只有一个极值点,所以它是最大值.答:产量为84时,利润L最大.求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。2,2,2sin)()1(xxxf1,5,1)()2(xxxf4,1,71862)()3(23xxxxf答案最大值f(-π/2)=π/2,最小值f(π/2)=-π/2最大值f(3/4)=5/4,最小值f(-5)=-5+最大值f(1)=-29,最小值f(3)=-61练习3:6①求函数在内的极值;)(xf),(ba1.求在上的最大值与最小值的步骤:)(xf],[ba②求函数在区间端点的值;)(xf)()(bfaf、③将函数在各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.)(xf)()(bfaf、小结2.求函数最值的一般方法:①.是利用函数性质;②.是利用不等式;③.是利用导数一.最值的概念(最大值与最小值)复习如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.最值是相对函数定义域整体而言的.如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.①求函数在内的极值;)(xf),(ba二.求在上的最大值与最小值的步骤:()fx[,]ab②求函数在区间端点的值;)(xf)()(bfaf、③将函数在各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.)(xf)()(bfaf、复习三.求函数最值的一般方法:①.是利用函数性质;②.是利用不等式;③.是利用导数练习1求函数在区间上的最大值与最小值.2425yxx]2,2[解:xxy4430y令,有0443xx,解得1,0,1x1345413y+0—0+0—2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当x变化时,的变化情况如下表:yy,从表上可知,最大值是13,最小值是4.y’↘↗↘↗练习2求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1,4]内的最大值和最小值解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0,即2x–4=0,得x=2x-1(-1,2)2(2,4)40-+83-1故函数f(x)在区间[-1,4]内的最大值为8,最小值为-1)(xf)(xf例1.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时,利润L最大。.8125qp分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.281258125qqqqpqR解:收入)2000(1002181)4100(812522qqqqqqCRL利润2141'qL021410'qL,即令求得唯一的极值点84q因为L只有一个极值点,所以它是最大值.答:产量为84时,利润L最大.生活中的优化问题例2产品与利润对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题。对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式;(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?32246310yxxx18zx解(1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,所以32()18(246310)wwxxxxx即32244510(0)wxxxx(2)求w=w(x)的导数2()34845wxxx解方程()0wx得121,15xxxy)(xfx115-0+0-极小值极大值(1,15)(0,1)(15,)列表,分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点x=15是函数的极大值点,比较x=1和x=15的函数值(1)32,(15)1340ww可知,函数w(x)在x=15处取得最大值为1340,即该企业的产量为15t时,可获得最大利润,最大利润为1340万元在实际中,有许多以函数为数学模型的问题,在研究它们的变化规律时,导数是一个重要的工具,注意:解最优化问题的思路为:最优化问题用函数表示的数学问题最优化问题的答案用导数解决数学问题要设计一种圆柱形,容积为500ml的一体化易拉罐金属包装,如何设计才能使得总成本最低?2225001000222,0yxxxxxx解:设易拉罐的底面半径为xcm,所用的材料面积为,则2ycm解这个函数的最小值,得当时,函数取得最小值35004.302xcm•例3某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平•均购地费用,平均购地费用解:设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,则f(x)=(560+48x)+2160×100002000x=560+48x+10800x(x≥10,x∈N*),f′(x)=48-10800x2,令f′(x)
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