研究生教材+矩阵论++课后习题答案

习题解答封面习题解答封面研究生应用数学丛书矩阵论及应用课程辅导制作人刘慧罗发来前前言言此习题解答分两部分,第一部分(从第4页到第58页)为各章习题题目;第二部分(从第59页到第199页)为各章相应习题的解答.第三部分是工程例题.目录中建立有链接,当运行幻灯片时,若单击其中带有下划线的蓝色文字,幻灯片就会跳到相应章节的习题题目处.若单击习题题目前的题号链接,就会跳出相应习题的解答.左、右上角的动作按钮分别表示返回目录、跳到最后一页.左、右下角的动作按钮表示放映上一页、下一页.目录第1章线性空间与线性变换···········································(4)第2章矩阵的相似及应用··············································(14)第3章范数理论及其应用··············································(24)第4章矩阵分析及矩阵函数··········································(30)第5章矩阵分解······························································(40)第6章广义逆矩阵··························································(48)第7章工程中矩阵应用实例········································(200)1.验证以下集合对指定运算是否构成线性空间.全体实数的二元数列,对于如下定义的加法和数乘运算⊕°(1)1122121212(,)(,)(,)ababaabbaa⊕=+++°k211111(1)(,)(,)2kkaabkakb−=+(2)设是一切正实数集合,定义如下加法和数乘运算:R+第一章第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换,kaa=abab⊕=°k其中.,,abRkR+∈∈(3)平面上不平行于某一向量的全体向量所组成的集合,对于向量的加法和数与向量的乘法.(4)设A是n阶实数矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体对于矩阵的加法和数乘.2.求下列线性空间的维数和一个基.(1)全体n阶实上(下)三角矩阵形成的实数域上的线性空间.(2)全体n阶实对称(反对称)矩阵形成的实数域上的线性空间.(3)第1题(2)中的线性空间.3.3.(MATLAB)(MATLAB)Ax=0的解空间.其中2103310154A−−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠4.如果,并且.证明:1230cccαβγ++=130cc≠(,)(,)LLαββγ=5.设分别是齐次线性方程组与的解空间,12,VV12...0nxxx+++=12...nxxx===证明.12nVVR⊕=6.在立体几何中,所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间.3R(1)问所有终点都在平面上的向量是否为子空间.(2)设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别构成三个子空间.问123,,LLL12123,LLLLL+++能构成哪些类型的子空间,试全部举出.7.(MATLAB)(MATLAB)求由下列向量生成的子空间和由下列向量生成的子空间的交与和空间的基与维数.iαiβ12(1,2,1,0)(1,1,1,1)TTαα⎧=⎨=−⎩12(2,1,0,1)(1,1,3,7)TTββ⎧=−⎨=−⎩(1)123(1,2,1,2)(3,1,1,1)(1,0,1,1)TTTααα⎧=−−⎪=⎨⎪=−−⎩12(2,5,6,5)(1,2,7,3)TTββ⎧=−−⎨=−−⎩(2)8.判断下面定义的变换哪些是线性的,哪些不是?(1)在线性空间V中,,其中是一个固定向量;Taαα=+aV∈(2)在中,;3R221231233(,,)(,,)Txxxxxxx=+(3)在实函数线性空间R[x]中,Tf(x)=f(x+1).9.已知在中线性变换T在下的矩阵为:3R12(1,1,1),(1,0,1)TTαα=−=−3(0,1,1)Tα=101110121A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥−⎣⎦求在基下的矩阵.123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTTeee===在基下的矩阵,其中*1234{,,,}Sηηηη=10.设是四维线性空间V的一个基,已知线性变换T在这个基下的矩阵为1234{,,,}Sεεεε=1021121312552212A⎡⎤⎢⎥−=⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦1124223433444232ηεεεηεεεηεεηε=−+=−−=+=;(1)T的核与值域;(2)在T的核中选一个基,把他扩充成V的基,并求出T在这个基下的矩阵;(3)在T的值域中选一个基,把他扩充成V的基,并求出T在这个基下的矩阵;11.在P[t]中,T,Q是两个线性变换,并且满足:,证明TQ-QT=E.'()(),()()TftftQfttft==12.在中,设,定义实数2R12(,)Tαξξ=12(,)Tβηη=111212(,)()()αβξηξξηη=+−−判断是否为中的与的内积.(,)αβ2Rαβ13.用Schmidt正交化方法,将内积空间V的给定子集S正交化,再找出V的标准正交基,并求出在标准正交基α下的坐标:V=,4R(3,1,1,3)Tα=−.{(1,2,2,1),(1,1,5,3),(3,2,8,7)}TTTS=−−−,14.用向量生成子空间V,求V的123(1,0,2,1),(2,1,2,3),(0,1,2,1)TTTααα===−正交补空间.V⊥15.(MATLAB)(MATLAB)将以下向量组正交化.(1);123(1,1,1),(1,1,0),(1,1,2)TTTxxx===−(2)是[0,1]上的多项式空间的基,并且定义2()1,(),()ftgtthtt===10(,)fgfgdt=∫.第二章第二章矩阵的相似及应用矩阵的相似及应用向量,已知T在一个基下的矩阵是A.3452⎛⎞⎜⎟⎝⎠(1)A=00aa⎛⎞⎜⎟−⎝⎠(2)A=1111111111111111⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−−⎝⎠(3)A=(4)A=563101121−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠1.求复数域上线性空间V的线性变换T的特征值与特征2.在第1题中哪些变换得矩阵可以在适当的基变换下变成对角形?在可以化为对角形的情况,写出相应的过渡001010100⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(5)A=021203130⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠(6)A=(7)A=310410482⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠P,并计算.1PAP−3.关于特征值和特征向量有以下命题,试证之:的特征值,对应的特征向量仍然是.,mλλ(2)若是A的一个特征值,ξξ,mkAAλ为对应的特征向量,则分别是4.设A是一个n阶矩阵,且,证明A的特征值只能是0或1.2AA=(1)方阵A与有相同的特征多项式,因而有相同的特征值;TA(3)则是的特征值,对应的特征向量仍然是1(0)λλ≠1A−.ξ5.5.(MATLAB)(MATLAB)已知,计算A的特征多项式、特征值、特征向量并且将A对角化.142034043A⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠6.化下列-矩阵化为Smith标准形.λ322253λλλλλλ⎛⎞−⎜⎟⎜⎟+⎝⎠(1)22000000(1)λλλλ⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠(2)(3)22000000(1)λλλλ⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠22220000000(1)00000λλλλλλ⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠(4)(5)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎞⎜⎟++⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠7.求下列-矩阵的不变因子.λ(1)210021002λλλ−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠1000100015432λλλλ−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟+⎝⎠(2)10000000λαββλαλαββλα+⎛⎞⎜⎟−+⎜⎟⎜⎟+⎜⎟−+⎝⎠(3)0012012012002000λλλλ+⎛⎞⎜⎟+⎜⎟⎜⎟+⎜⎟+⎝⎠(4)8.求出下列矩阵的特征向量和广义特征向量,并写出它的Jordan标准形.下列-矩阵的不变因子.λ(1)131616576687A⎛⎞⎜⎟=−−−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠452221111A−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠(2)9.把下面矩阵A对应的-矩阵化为Smith标准形,并且写出与A相似的Jordan标准形.λ(2)4210437317−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠112336224−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠(1)10.10.(MATLAB)(MATLAB)求解微分方程:1132123313383625dxxxdtdxxxxdtdxxxdt⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩102011010⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠11.设矩阵A=,试计算.8542234AAAAI−++−4321(5668)AAAAI−−++−13.设矩阵,试计算2113A−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.12.证明:任意可逆矩阵A的逆矩阵可以表示为A的多项式.1A−A的二次式.14.已知3阶矩阵A的三个特征值是1,-1,2,试将2nA表示成15.求下列矩阵得最小多项式.311020111A−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠(1)11......1nnnI×⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠(2)11...111...1......11...1A⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠(3)0123103223013210aaaaaaaaAaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟=⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠(4)第三章第三章范数理论及其应用范数理论及其应用1.证明定理3.1.1和定理3.1.2.(1)证明函数12221||||(||)nkkxx==∑是范数.12||||max{||,||,...,||}nxxxx∞=(2)证明函数是范数.2.设241,14xRA⎛⎞∈=⎜⎟⎝⎠,请画出由不等式决定的x的全||||1Ax≤体所对应的几何图形.3.在平面中将一个棍子的一端放在原点,另一端放在,将棍子旋转2R(0,1)T/4π度量意义下棍子的长度:,求在下列(1)1-范数;(2)2-范数;(3)-范数.∞4.定义函数,其中p是正整数,证明是向量范数,此范数称为p-范数.112||||(||||...||)pppppnxxxx=+++||||px5.求矩阵的1-矩阵,2-矩阵,-范数,F-范数.∞2112A−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠6.证明定理3.2.3的(2)和(3).(1)这里只证明成立.122||||max(())HAAAλ=7.设A是的矩阵,证明:nn×(1);1||||||||||||FAAnAn∞∞≤≤(2).111||||||||||||FAAnAn≤≤8.设可逆方阵是上的向量范数,是中从属于向量范数的矩阵范数,试导2,||||||||nnBBRxBx×∈=nR||||BAnnR×||||Bx出与矩阵的2-范数之间的关系.||||Bx9.设,定义线性变换T(x)=Ax.(1)2-范数的意义下画出单位圆的像;(2)计算;(3)在2-范数的意义下计算和之间的距离,以及和之间的距离.1021A⎛⎞=⎜⎟⎝⎠2||||A11⎛⎞⎜⎟⎝⎠22⎛⎞⎜⎟⎝⎠11T⎛⎞⎜⎟⎝⎠22T⎛⎞⎜⎟⎝⎠10.设,且对中的某种矩阵范数有,则矩阵I-A非奇异,且.nnAR×∈nnR×||||•||||1A≤1||||||()||1||||IIAA−−≤−11.设是非奇异矩阵,假定AX=b.nnAR×∈(1)若Ay=c,证明.||||||||()||||||||xybccondAxb−−≤(2)若通过计算得到,其误差为,xrbAx=−证明,并解释你的结果.||||||||()||||||||xxrcondAxb−≤12.设,且T(x)=Ax,请问在中满足下列条件之一得向量x和y的位置是怎样的?22AR×∈2R(1);222||()()||||||||||TxTyAxy−=−(2).22222||()()||||||()||()|