第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式

高分子材料流变学第五章输运过程的基本方程及基本流动形式基本要求基本要求：掌握输送过程基本方程的推导过程，以及两种基本流动形式。学会在推导过程中理解方程的意义！！引言高分子流变学研究高分子液体在流动过程中所表现的非线性粘弹性及其规律，广义而言，这些内容均属于连续介质力学的范畴，属于输运过程。因此象所有材料的真实物理过程一样，高分子流变过程也必然遵循自然界普遍适用的最基本的守恒定律。在输运过程范畴内，这些守恒定律主要表现为质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。高分子流变过程与其他流体输运过程的主要差别在于高分子液体是一种特殊的非线性粘弹性流体，这种特殊性表现在其特殊的流变本构方程上。为定量地研究高分子材料在流变测量和合成或加工工程中的流动规律，为高分子材料设计、加工工艺设计、模具和设备设计提供系统地计算基础和设计方法，本章介绍输运过程基本方程的物理意义和方程形式，讨论其在几种典型高分子材料流动形式中的应用。1.连续性方程——质量守恒律设无限大空间内充满流体，在固定的空间坐标系中任取封闭曲面A，设其包围体积为（图5-1）。考察单位时间内曲面中包围流体的质量变化率为式中；ρ(x，t)为时刻t，空间任一点x的质量密度。积分是对体积的体积分。(,)MtdtxMMt该质量变化率应等于单位时间内穿过曲面A的净质量流量。在A上任取面元dA，设dA的方向指向封闭曲面的外法线方向。假定dA处流体的流速为v，则单位时间通过dA的体积流量为（-v·dA），这是两个矢量的点乘，负号的出现是由于规定了以流进封闭曲面的流量为正流量（使封闭曲面内物质增多），流出为负流量。相应的通过dA的质量流量为（-ρv·dA），于是有我们称（5-2）式为连续性方程的积分型式。AvxddttMA),(（5-2）公式表明单位时间内体积中流体的质量变化等于该时间内穿过曲面A的净流量，其物理本质为质量守恒定律。后一个积分是对包围体积的封闭曲面A作的面积分。利用场论中的Gauss定理可将一个面积分转化为体积分，于是（5-2）式可改写为：0)]([dtv（5-3）由于区域为无限大空间中任取的区域，所以（5-3）式积分等于零，只有被积函数等于零：此公式称连续性方程的微分型式。0)(vt对于任何一种稳定流动，有所以由（5-5）式得知：对于不可压缩流体的稳定流动，进一步有：在直角坐标系中，上式的显式表示为：这是不可压缩流体稳定流动的连续性方程。对于大多数高分子材料熔体加工过程均可近似地视其为不可压缩流体的稳定流动，故连续性方程可用该式表示。,0t0)(v0v0zyxzyx2.运动方程——动量守恒律按质点的动量定理有式中m为质点的质量，Fi为质点所受的外力。公式的物理意义为质点的动量变化率等于质点所受的外力和。iimDtDFv)(考察流体中一无限小流体元，其速度为v，动量为，见图（5-2）。321xxx321xxxv取动量矢量的分量研究：由于为流体元质量，在考察中保持不变，故上式改写为：iiFxxxvDtD1321`1)(321xxxiiFDtDvxxx11321外力包括流动时作用在体积元上的压力在方向的分量，粘弹力在方向的分量VE1和重力在方向的分量G1。综合写成张量表示式：此式称一般粘弹性流体的动量方程，也称运动方程。iiF1133122111111)(gxxxxpDtDvgv][σpDtD（5-19）公式表明，流体元流动中动量的变化有三种外力的贡献，分别是压力、粘弹力和重力。由于高分子流体粘度很大，重力影响很小，常忽略不计。因此影响流动的主要外力为压力和粘弹力，流动形式也可区分为由压力引起的压力流和由粘弹力引起的拖曳流。对不可压缩的牛顿流体，为常数，偏应力张量，粘度η0为常数，故（5-19）式得以简化：此方程即著名的Navier-Stokes方程，为牛顿流体力学中的基本方程。在这儿它只是粘弹性流体运动方程的一个特例。v0σgvgvv00)(ppDtD3.能量方程——能量守恒律能量守恒律有多种表示方法，我们取热力学第一定律来研究。设一个封闭体系的内能为E，动能为K，它与外界的功交换和热量交换分别记为和，则热力学第一定律，即能量守恒律表示为：公式的物理意义为：封闭体系的任何能量变化，或源于与外界的功交换，或源于与外界的热交换，否则能量守恒。iiAQQAKEii)(（5-26）设无限大空间内充满连续流体，取在某一瞬时占有空间域A（体积为）的流体系统研究。按（5-26）式，它在单位时间内的能量变化律为：DtDQWKEDtDii)(对A域中的流体系统而言，其内能和动能分别为：式中e为内能密度，单位为J·kg-1，积分是对体积的体积分。deEdKvv214.平行板间的等温拖曳流和管道中的压力流本小节要求掌握两种基本流动形式，详细过程自学（了解）。4.1平行板间的等温拖曳流讨论两块无限大平板间的等温拖曳流。所谓拖曳流，指平板间流体的流动是依靠平板的运动，而平板与流体间存在内摩擦，由此拖带着流体流动的。两块大板或者同向同速运动，或者运动速度不同，例如，其中只有一块板运动，另一块板静止。这种流动又称Couette流动。比如在挤出成型过程中，挤出机的螺杆转动，由此带动物料运动，而机筒不动。所谓等温流动，指流动过程中两块大板的温度TW保持不变，但这并不意味着物料与外界没有热交换。4.2圆形管道中的压力流管道中的压力流存在于许多高分子流变测量仪器和高分子材料加工过程中，比如毛细管流变仪、熔融指数仪、挤出机口模、注射模具流道中。按管道截面形状不同，又分为圆形管道，矩形管道，异形流道等多种。物料在管中流动，是因为管道两端存在压力差，因此称压力流。又称Poiseuille流动。怎么理解输送过程中的基本方程？（主要从物理意义的角度考虑）