第三章--1.2相关系数

1.2相关系数[学习目标]了解相关系数的计算公式，会由r值的大小判断两随机变量线性相关程度的大小．[知识链接]当r＝1或－1时，两个变量的相关性如何？答当r＝1时，两个变量完全正相关；当r＝－1时，两个变量完全负相关．[预习导引]1．相关系数r的计算假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r的计算公式为r＝lxylxxlyy＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2∑ni＝1（yi－y－）2＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2∑ni＝1y2i－ny－22．误差表达式Q(a，b)＝∑ni＝1[yi－(a＋bxi)]2＝lyy＋n[y－－(a＋bx－)]2＋lxx(b－lxylxx)－l2xylxx，Qmin＝lyy(1－r2)(Q≥0)．3．相关系数r的性质(1)r的取值范围为[－1，1]；(2)|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；(3)|r|值越接近0，Q越大，变量之间的线性相关程度越低.要点一利用相关系数检验两变量间的相关性例1现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？解x－＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y－＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68，∑10i＝1x2i＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，∑10i＝1y2i＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，∑10i＝1xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相关系数为r＝73796－10×107.8×68（116584－10×107.82）（47384－10×682）≈0.7506.由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系．规律方法利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器．跟踪演练1假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知∑5i＝1x2i＝90，∑5i＝1y2i＝140.78，∑5i＝1xiyi＝112.3.(1)求x－，y－；(2)对x，y进行线性相关性检验．解(1)x－＝2＋3＋4＋5＋65＝4.y－＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.(2)∑5i＝1xiyi－5x－y－＝112.3－5×4×5＝12.3，∑5i＝1x2i－5x－2＝90－5×42＝10，∑5i＝1y2i－5y－2＝140.78－125＝15.78，所以r＝12.310×15.78≈0.979.|r|≈0.979＞0.75，所以x与y之间具有很强的线性相关关系．要点二线性回归分析例2已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量x(kg)与每单位面积蔬菜年平均产量y(t)之间的关系有如下数据：年份19851986198719881989199019911992x/kg7074807885929095y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x/kg92108115123130138145y/t11.511.011.812.212.512.813.0(1)求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；(2)若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量x之间的线性回归直线方程，并估计每单位面积施氮肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量．解(1)列出下表，并用科学计算器进行相关计算：i12345678xi7074807885929095yi5.16.06.87.89.010.210.012.0xiyi357444544608.4765938.49001140i9101112131415xi92108115123130138145yi11.511.011.812.212.512.813.0xiyi1058118813571500.616251766.41885x－＝151515＝101，y－＝151.715≈10.11，∑15i＝1x2i＝161125，∑15i＝1y2i＝1628.55，∑15i＝1xiyi＝16076.8.故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数r＝16076.8－15×101×10.11（161125－15×1012）（1628.55－15×10.112）≈0.8643.所以蔬菜产量与施用氮肥量之间存在着线性相关关系．(2)设所求的线性回归方程为y＝a＋bx，则b＝∑15i＝1xiyi－15x－y－∑15i＝1x2i－15x－2＝16076.8－15×101×10.11161125－15×1012≈0.0937，a＝y－－bx－≈10.11－0.0937×101＝0.6463，∴线性回归方程为y＝0.6463＋0.0937x.∴当每单位面积施氮肥150kg时，每单位面积蔬菜年平均产量为0.6463＋0.0937×150≈14.701(t)．规律方法在研究两个变量之间的关系时，应先进行相关性检验，若具备线性相关关系再求线性回归方程．如果本身两个变量不具备线性相关关系，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．跟踪演练2为分析学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取10名学生，了解他们的入学成绩和高一期末考试数学成绩如下表：学生编号12345678910入学成绩(x)63674588817152995876高一期末成绩(y)65785282928973985675(1)画出散点图；(2)对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，求出线性回归方程；(3)若某学生入学的数学成绩为80分，试估计他在高一期末考试中的数学成绩．解(1)散点图如图所示．(2)由题可得x－＝70，y－＝76，∑10i＝1(xi－x－)·(yi－y－)＝1894，∑10i＝1(xi－x－)2＝2474，∑ni＝1(yi－y－)2＝2056，因此可得相关系数为r＝∑10i＝1（xi－x－）（yi－y－）∑10i＝1（xi－x－）2·∑10i＝1（yi－y－）2＝18942474×2056≈0.8398＞0.75，所以入学数学成绩与高一期末考试数学成绩存在线性相关关系．设线性回归方程为y＝a＋bx，则b＝∑10i＝1（xi－x－）（yi－y－）∑10i＝1（xi－x－）2＝18942474≈0.76556，a＝y－－bx－＝76－0.76556×70＝22.4108.因此所求的线性回归方程是y＝22.4108＋0.76556x.(3)若某学生入学的数学成绩为80分，代入(2)中的方程可求得y＝22.4108＋0.76556×80≈84，即这名学生在高一期末考试中的数学成绩的预测值为84分．1．对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关D．样本相关系数r∈(－1，1)答案D解析相关系数r的范围是[－1，1]．2．一唱片公司欲知打歌费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得如下的资料：∑10i＝1xi＝28，∑10i＝1x2i＝303.4，∑10i＝1yi＝75，∑10i＝1y2i＝598.5，∑10i＝1xiyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为__________．答案0.3解析由公式r＝∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2∑ni＝1y2i－ny－2得|r|＝0.3.3．若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝__________．答案0解析相关系数r＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2∑ni＝1（yi－y－）2与b＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2的分子相同．4．有5组数据如下：x123410y3410512将这组数据中的哪一组去掉后，另外的4组数据具有较强的线性相关性？解作出散点图如图所示．观察散点图，可以发现A，B，D，E四个点大致在某条直线附近，具有较强的线性相关关系，故应将点C(3，10)去掉．对相关系数r的理解(1)判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．(2)|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好．(3)相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度，不能揭示二者之间的本质联系．(4)相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确的给出有无必要建立两变量间的回归方程.一、基础达标1．下列说法不正确的是()A．回归分析中，变量x和y都是普通变量B．变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定C．线性相关系数可能是正的，也可能是负的D．如果线性相关系数是负的，y随x的增大而减少答案A解析在回归分析中的两个变量是具有相关关系的两个变量．2．通过相关系数来判断两个变量相关关系的强弱时，相关系数的绝对值越大，用线性回归模型拟合样本数据的效果就越好，如果相关系数r∈[0.75，1]，则两个变量()A．负相关很强B．相关性一般C．正相关很强D．两变量之间几乎没有关系答案C3．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.9533②n＝15，r＝0.3012③n＝17，r＝0.4991④n＝3，r＝0.9950则变量y和x具有线性相关关系的是()A．①和②B．①和④C．②和④D．③和④答案B解析相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关关系越强，故选B.4．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图①：对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案C解析在图①中，所有点都在一条直线的附近，且直线的斜率为负值，所以变量x与y负相关；同理，变量u与v正相关，故选C.5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，则下列说法正确的是__________．①b与r的符号相同②a与r的符号相同③b与r的符号相反④a与r的符号相反答案①解析因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.6．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：固定资产价值33566789910工业增加值15172528303637424045根据上表资料计算的相关系数为__________．答案0.9918解析x－＝3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋1010＝6.6.y－＝15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋4510＝31.5.∴r＝∑10i＝1（xi－x－）（yi－y－）∑10i＝1（xi－x－）2∑10i＝1（yi－y－）2＝0.9918.7．维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据