理工科线性代数复习提纲

CH1行列式一、n阶行列式的定义nnnpppppptnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121)(212222111211)1(排列，逆序数二、行列式的性质1.转置值不变2.互换变号3.公因子外提4.成比例，值为05.拆分性质6.乘加法则三、行列式主要计算方法★1.按行（列）展开(余子式，代数余子式)2.定义法3.归“1”法4.“爪”型法四、克拉默法则(1)bXAnn有唯一解0A(2)0XAnn有非零解0ACH2矩阵的运算一、矩阵的乘法二、求矩阵的逆：方法一按定义，找矩阵B使得EBAAB方法二伴随矩阵法：*1||1AAA★方法三初等变换法1AEEA初等行变换(了解)方法四利用分块矩阵求解1211121AAAA，11111QCQPPQCP，11111QCPQPQCP，111PQQP三、矩阵A可逆的充要条件：★n阶矩阵A可逆A为非奇异矩阵(0||A)0AX只有零解r(A)=nA满秩A的行（列）向量组线性无关A的特征值均非零A可仅经初等行变换化为EA与E等价………..四、有关伴随矩阵的一些结论：★（1）EAAA（2）A可逆*A可逆，且1*||AAA，*11()||AAA★（3）1*||||nAA（设A矩阵为n阶矩阵）五、求矩阵方程：第一种情况BAX方法一：)()(1AEEA行变换然后BAX1方法二：)()(1BAEBA行变换第二种情况BXA方法：)()(1AEEA行变换然后1BAX第三种情况BAXC方法：)()(1AEEA行变换，)()(1CEEC行变换然后11BCAX六、求矩阵的秩：★方法一：将矩阵通过行变换化为行阶梯形矩阵，矩阵的秩=其行阶梯形矩阵中非零行行数.方法二：利用定义（矩阵非零子式的最高阶数）.七、矩阵的转置性质（P41）、方阵的行列式性质(P43)、逆矩阵的性质(P51)CH3向量组的线性相关性一、判断向量组的线性相关性：★方法一：0...2211nnkkk若存在一组不全为零的数nkkk,...,,21，使得则向量组n,...,,21线性相关，否则线性无关★方法二：),...,,(21nA通过行变换化为行阶梯形矩阵若),...,,()(21nrAr=向量个数n，则线性相关若),...,,()(21nrAr向量个数n，则线性无关二、求最(极)大无关组：1.定义★2.求法：),...,,(21nA通过行变换化为最简形矩阵，最简形矩阵中每个非零行的首个非零元所在的列对应的向量就构成一个最大无关组例：求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.)3,1,2,1(1，)6,5,1,4(2，)7,4,3,1(3，)0,1,1,2(4解：令12341121014129321315101,,,931541000036700000A所以1234(,,,)()2rrA,其中12,为一个极大无关组,且31241211521,9933.需检验!★三、方程组的求解1.齐次线性方程组Ax=0：（1）判别法：只有零解r(A)=未知量个数n有非零解r(A)未知量个数n（2）求解方法：将系数矩阵通过行变换化为行最简形矩阵，再写出对应方程组.例：求齐次线性方程组01117840246303542432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系以及系数矩阵的秩,并用基础解系表示方程组的通解.解：将系数矩阵用初等行变换法化为行最简形2120245373642500148171170000A()2rA得同解方程组124342207507xxxxx,解得124224334422757xxxxxxxxxx,(对齐!)所以原方程组的通解为1234342271005701xxxxxx(34,xx为自由未知量)需检验!基础解系为1222710,057011.非齐次线性方程组Ax=b：(1)解的判别定理无解)()~(ArAr唯一解nArAr)()~(未知量个数无穷多解nArAr)()~(未知量个数（2）求解方法：将增广矩阵通过行变换化为行最简形矩阵，再写出对应方程组.例：求非齐次方程组69413283542432321321321321xxxxxxxxxxxx的通解、相应导出组（齐次方程组）的基础解系，并求增广矩阵的秩.解：将增广矩阵用初等行变换法化为行最简形231410211245011238213000041960000A,()2rA得同解方程组1323212xxxx,解得132333212xxxxxx,(对齐!)所以原方程组的通解为1233211210xxxx(3x为自由未知量)需检验!对应齐次方程组的基础解系为1121CH4矩阵的对角化一、特征值与特征向量1.定义)0(A2.⑥★3.求法二、相似矩阵1.定义BAPPBA1~2.三、正交矩阵1.定义EAAT2.性质①1A②TAA1③列向量组为单位正交向量组四、矩阵的对角化1.（1）n阶方阵可对角化A有n个线性无关的特征向量（2）实对称矩阵一定可以对角化2.①找可逆矩阵P，使得APP1方法：(1)求A的特征值n,...,,21，对应的特征向量n,...,,21(2)令),...,,(21nP，则APP1②找正交矩阵Q，使得AQQ1方法：(1)求A的特征值n,...,,21，对应的特征向量n,...,,21(2)对向量n,...,,21施密特正交化：取11，1112122],[],[，222321113133],[],[],[],[，…….单位化：令),...,2,1(||||niiii(3)令正交矩阵),...,,(21nQ，则AQQ1111,||nnniiiiiiiaA必考大题：一、行列式计算（4阶数字、n阶行列式）二、求逆矩阵或矩阵方程三、向量组的相关性判别四、求向量组的最（极）大无关组五、方程组解的判别及求通解、基础解系六、方阵A的特征值、特征向量的求解、对角化判别、计算nA、nA注意事项：1.符号规范（分清行列式与矩阵）2.初等变换中不能出现列变换3.解方程时一定将矩阵化为行最简形4.特征向量一定要写全5.能检验的要检验6.几个重要的概念：逆矩阵、矩阵的秩、最大无关组、基础解系、向量组的秩、特征值与特征向量、相似矩阵、正交矩阵