高等教育自学考试高等数学(一)第-四-章-微分中值定理和导数的应用

高等教育自学考试高等数学(一)第四章微分中值定理和导数的应用一、考核要求Ⅰ知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。Ⅱ能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。Ⅲ会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。Ⅳ会求函数的极值。Ⅴ会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。Ⅵ会判断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。Ⅶ会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。二、基本概念、主要定理和公式、典型例题Ⅰ微分中值定理今后，如果函数f(x)在某一点x0处的导数值=0，就说这一点是驻点，因此罗尔中值定理的结论也可以说f(x)在（a，b）内至少有一个驻点。从y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）内至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率=k=0。从函数y=f(x)的图形看（见下图），高等教育自学考试高等数学(一)连接y=f(x)在[a，b]上的图形的端点A与B，则线段AB的斜率为：将AB平行移动至某处，当AB的平行线与曲线y=f(x)相切时，若切点为x=c，则根据导数的几何意义知：或写作故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。典型例题例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是（）①，[-1，1]；②，[-1，1]；③，[1，2]；④，[-1，1]。解：①在[-1，1]上处处有意义，没有无意义的点，因为他没有分母，所以在b区间[-1，1]上处处连续满足第一个条件。又f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件因此这函数在开间内不是处处可导，只少在0这一点不可导的，因此不满足第二个条件。②在x=o处不可导，∴也不满足第二个条件。③f(1)=1，f(2)=4，∴在[1，2]上满足第三个条件。④，处处可导且处处连续，f(-1)=1，f(1)=1。∴在[-1，1]上满足三个条件。例二：证明方程在（0，1）内至少有一个根。证：用罗尔中值定理解：由于高等教育自学考试高等数学(一)令在[0，1]上满足罗尔定理的三个条件。所以在（0，1）内至少存在一个数c(0＜c＜1)使。∴x=c是方程的根。即x=c是方程的根。例三：证明不等式：arctanb－arctana≤b-a，(a＜b)解：令f(x)=arctanx∴处处存在。∴f(x)=arctanx处处可导，处处连续，所以f(x)=arctanx在[a，b]上满足拉格朗日定理的二个条件，因此存在a＜c＜b，使。即：∴arctanb－arctana＜b-a在第三章我们曾知常数的导数为零，即反过来会问：导数为零的函数是否一定是常数，下面我们证明证：在（a，b）任取两数x1，x2，假定x2＞x1，证明这两个函数值相等的。由于函数在a，b内处处可导，因此根据拉格朗中值定理知道在区间内部处处连续。因此函数在开区间x1，x2内部只少存在一点c使，使在端点的函数值f(x1)-f(x2)=(x2-x1)由于函数在区间内部的导数值永远等于0，所以＝0∴f(x2)-f(x1)=0∴f(x2)＝f(x1)证毕。证：令Ｆ(x)=f(x)-g(x)∴在（a，b）内=-=0∴在（a，b）内Ｆ(x)=c，即在（a，b）内f(x)-g(x)=c∴在（a，b）内f(x)=g(x)+cⅡ洛必达法则当limf(x)=0且limg(x)=0时，或limf(x)=∞且limg(x)=∞时，分式的极限高等教育自学考试高等数学(一)不能用除法公式计算，上面的分式的极限可能存在，也可能是∞，还可能没有极限，因此叫未定式，对于未定式的极限有下面的计算方法，叫洛必达法则，我们不加证明地介绍给学员使用在洛必达法则的条件和结论中，我们没有写明x的变化状态，意思是x→a或x→∞这两情形洛必达法则都正确．洛必达法则的优点在于，在大多情形下，极限的计算较困难，而极限的计算较易，便可将一个较难的计算变为较易的极限计算．洛必达法则在使用时可以简写为即两个无限小相除或两个无究大相除都可用洛必达法则计算，需要法注意的前提是它们的导数必须存在且比值的极限必需是常数或∞。典型例题洛必达法则可以多次使用，需要注意的是使用它的前提必须是未定式或在使用洛必达法则求极限时不要忘记四则运算法则和等价替换原则，综合使用时计算会显得简高等教育自学考试高等数学(一)单。例如在例二中，下面的计算因为x→0时，1-cosx～，进行等价替换会更简单。解：∵x→0时，sinx～x高等教育自学考试高等数学(一)从例八同学们可以看出，无论a为何值，均有：由例七，例八同学们可以看出，x→+∞时，虽然lnx，(a＞0),都是无穷大量，但远大于，远大于lnx。或者说是比高阶的无穷大，（a＞0）是比lnx高阶的无穷大。从上边可以看到，求不定式型或型的极限时，洛必达法则是一种很有效的方法，但同学们必需注意两条：第一，只有不定式型或型才能使用洛必达法则，否则会犯错误。第二，有或时，等式才成立，也就是说，若不存在时，并不能说，也就是说，不能说也不存在，这时，只好用其它方法求极限，请看下面两个例题。高等教育自学考试高等数学(一)若不注意，错误地用洛必达法则，便得出错误的结果错误在于第一个等式，由于本题不是不定型，所以不能用洛必达法则。因为x→∞时,sinx的值在（-1）与1之间波动，∴不存在，∴不存在，若由此得出结论，不存在那就错了，原因在于不存在时，不能说。正确的解法是：下面介绍三种可以化为不定式型或型的极限。（1）(∞-∞)型由于(∞—∞)结果不定，可以是无穷小，也可以是无穷大，还可以是接近于常数A的量，如果希望用洛必达法则求它的极限，必须合并为一个分式化为型或型。高等教育自学考试高等数学(一)（2）（0·∞）型，无穷小乘无穷大其结果也是不能直接确定的，为了用洛必达法则，要将被求极限写成分式变为型或型。（3）型，型和型，它们常见于幂指函数求极限。由于高等教育自学考试高等数学(一)例十九若f(x)有二阶连续导数，求。高等教育自学考试高等数学(一)Ⅲ函数的增减性及其判别定理证：用拉格朗日中值定理（1）在（a，b）内任取，只需证明即可。∵在（a，b）内，当然在（a，b）内可导，∴在（a，b）内连续。∴在[]上连续，在()上可导，∴在[]上满足拉格朗日中值定理的两个条件。根据拉格朗日中值定理知：在()内至少存在一点，使高等教育自学考试高等数学(一)同法可证（2）及（3）例一证明在上是增加的。证：(ⅰ)在上，＞0，∴在上处处增加；（ⅱ）在上，＞0，∴在上处处增加；（ⅲ）在上可导，∴在上连续，在上处处增加。〈注〉由本例可知，若函数在(a，b)内除个别点导数为0外，其余各点导数都大于0（或都小于0），并不影响增加性（或减少性），所以今后我们发现函数在某个区间(a，b)上除个别点导数为零外，其余点导数都大于零（或都小于零），则对导数为零的点不再加说明。例三证明不等式∵f(0)=0∴0＜x时f(x)＞f(0)=0即0＜x时x-ln(1+x)＞0即0＜x时x＞ln(1+x)再证0＜x时，∴0＜x时，分子是正的，分母也是正的，＞0∴0＜x时，增加∵f(0)=0，∴0＜x时。高等教育自学考试高等数学(一)即0＜x时，即0＜x时，例四证明1＜x时Ⅳ函数的极值及极值的求法。例如，在下图中，都是的极大值，点x1和点x3都是极大值点；，都是极小值，点x2和点x4都是极小值点。今后，我们把极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。为了求函数的极值，我们分两步进行，首先求出可能取极值的点，这种点一般是很少的，那些不能取极值的点就可以不再分析判断；第二步才对这些可能取极值的点进行判断，下面用定理的形式进行介绍：高等教育自学考试高等数学(一)定理一说明，在一切可导点中，只有驻点（即导数值为零的点）才可能是极值点，不是驻点绝不可能是极值点。请大家务必注意，定理一只是说在可导点中只有驻点才可能是极值点，没有说不可导点不是极值点，其实，不可导点也可能是极值点，例如在点x=0处的函数值f(0)=0，而＞0，所以x=0是的极小值点，然而在x=0处不可导，所以不可导点也可能是极值点。综合上述，有下面结论：只有驻点和不可导点才可能是极值点。本定理的正确性是明显的，在（ⅰ）成立的条件下，它的图形见下图这时，在点的左侧增加，在点的右侧函数减少，∴是极大值在（ⅱ）成立的条件下，它的图形见下图：这时，在点的左侧减少，右点的右侧函数增加，所以是极小值。在（iii）成立的条件下，它们的图形见下图高等教育自学考试高等数学(一)由于在点左右两侧同号，所以f(x)在号的左右两侧要么都增加，要么都减少，所以不是极值。例一求的增减区间，极值。解：第一步，求驻点和不可导点第二步，用驻点，不可导点将定义区间（－∞，＋∞）分成三部分（－∞，0），（0，2）（2，＋∞），在每个区间内不再有驻点，不可导点，所以在上述每个区间内导数不会变号。（i）当－∞＜x＜0时，＞0，所以在区间（－∞，0）内增加；（ii）当0＜x＜2时，函数导数没变，还是＜0，所以在区间（0，2）内减少；（iii）当2＜x＜＋∞时，＞0，所以在区间(2，+∞)内增加；因此的增加区间为（－∞，0），（2，＋∞），减少区间为(0，2)。由于在点x=0的左侧＞0，在x=0点的右邻侧＜0，x=0是最大值点，极大值为f(0)=0；由于在点x=2的左邻侧＜0，点x=2的右邻侧＞0，所以点x=2是极小值点，极小值为f(2)=－4。上面的结果我们经常用下面的表格表示，表示的第一行写出自变量x的取值，第二行为导数的正负性，第三行写出函数的状态和函数值是否是极值例二求的增减区间和极值。解：第一步，写出函数的定义域，Df：0＜x＜+∞第二步，求函数在它的定义域内的可能取极值的点，即驻点和不可导点不可导点x=0及驻点x=－1都不在定义域内，所以不予讨论，只有唯一驻点x=1在定义域内，所以在定义域内的驻点为x=1，此驻点x=1将定义区间（0，＋∞）分为两部分（0，1）和（1，＋∞），下面列表分析＝当x比1小的导数是负的，比1大的导数是正的极小值f(1)=1-2ln1高等教育自学考试高等数学(一)因此极小值等于1例三，求的增减区间和极值解：第一步，写出f(x)的定义域，第二步，求f(x)在定义域内的驻点和不可导点第三步用不可导点，驻点将定义域分为分别列表分析。x（-∞，0）0（0，2）2（2，∞）+x-0+↗极大值0↘极小值↗判断驻点是否是极值点还可用下面的定理判别同法可证明（ii）请学员练习高等教育自学考试高等数学(一)当函数,f(x)的二阶导数易求；且f(x)只有驻点，没有不可导点时，用此种方法判断驻点是否是极值点非常方便。Ⅴ函数的最值（1）函数f(x)的最值的概念就说f(x1)是函数f(x)在区间[a，b]上的最小值，f(x2)是函数f(x)在这间[a，b]上的最大值（2）函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的求法。由于若f(x0)是最值，且x0（a，b）内一点，则x0必是极值点，自然x0是驻点或不可导点，除此，边界点也可能是最值点，例如f(x)=x2在［0，2］上的最小值为f(0)=0，最大值f(2)=4,它们都是边界点，因此函数的最值点只能在驻点，不可导点，边界点上产生，所以求函数f(x)在闭区间［a，b］上的最值的方法为：第一步，求导数，写出函数f(x)在闭区间内所有的驻点和不可导点x1,x2,……xn第二步，计算出函数f(x)在驻点，不可导点及边界点处的函数值f(a),f(x1),f(x2),……f(xn),f(b)第三步，选出f(a),f(x1),f(x2)……f(xn),f(b)中最大者是f(x)在［a，b］上的最大值，最小者是f(x)在［a，b］上的最小值。例一，求f(x)=x4-2x2+5在闭间［-2，2］上的最大值和最小值解：第一步，求f(x),在（-2，2）内的驻点和为可导点：第二步，计算边界和驻点处的函数法f(-2)=f(2)=13，f(-1)=f(1)=4，f(0)=5最大值为f(±2)=13