【优化方案】2012高中数学-第3章本章优化总结课件-新人教A版选修2-1

本章优化总结专题探究精讲本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲空间向量与空间位置关系题型特点：向量作为工具来研究几何，真正实现了几何中的形与代数中的数的有机的结合．给立体几何的研究带来了极大的便利，不论证明平行还是垂直，只需简单的运算就可以解决问题．知识方法：用向量方法证明平行与垂直问题的一般步骤是：(1)建立立体图形与空间向量的关系，利用空间向量表示问题中所涉及到的点、线、面，把立体几何问题转化为空间向量问题．(2)通过向量的运算研究平行或垂直关系，有时可借助于方向向量或法向量．(3)根据运算结果解释相关的问题．例1已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：AD1∥平面BDC1.【证明】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，AD1→＝(－1,0,1)，设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量，则n⊥DB→，n⊥DC1→.所以x，y，z·1，1，0＝0，x，y，z·0，1，1＝0.即x＋y＝0，y＋z＝0.令x＝1，则n＝(1，－1,1)．n·AD1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n⊥AD1→.又AD1⊄平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.空间向量与空间角题型特点：空间角包括：异面直线所成的角(线线角)；直线与平面所成的角(线面角)；二面角(面面角)，用向量法求空间角，就是把复杂的作角、证明、求角问题代数化，降低了思维难度，是近年来高考的一个方向．知识方法：(1)求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.(2)求二面角的大小如图，设平面α、β的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面角θ，所成cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.(3)求斜线与平面所成的角如图，设平面α的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n1，n2〉|.已知正方形ABCD所在的平面和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1.试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角为60°.例2【解】如图所示建立空间直角坐标系Cxyz，则F(2，2，1)，CD→＝(2，0,0)．设P(t，t,0)(0≤t≤2)，则PF→＝(2－t，2－t,1)．∵PF与CD所成的角是60°，∴cos60°＝|2·2－t|2·2－t2＋2－t2＋1，解得t＝22或t＝322(舍去)．∴当P为AC中点时，满足题设条件．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1.(1)证明：AB＝AC；(2)设二面角ABDC为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．例3【解】(1)证明：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz.设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)，E(12，b2，c)．(b0，c0)于是DE→＝(12，b2，0)，BC→＝(－1，b,0)．由DE⊥平面BCC1B1知DE⊥BC，DE→·BC→＝0，求得b＝1，∴AC→＝(0,1,0)，又AB→＝(1,0,0)，∴|AB→|＝|AC→|，所以AB＝AC.(2)设平面BCD的法向量AN→＝(x，y，z)，则AN→·BC→＝0，AN→·BD→＝0.又BC→＝(－1,1,0)，BD→＝(－1,0，c)，故－x＋y＝0－x＋cz＝0.令x＝1，则y＝1，z＝1c，AN→＝(1,1，1c)．又平面ABD的一个法向量AC→＝(0,1,0)，由二面角A­BD­C为60°知，〈AN→，AC→〉＝60°，故AN→·AC→＝|AN→|·|AC→|·cos60°，求得c＝12.于是AN→＝(1,1，2)，CB1→＝(1，－1，2)．因此cos〈AN→，CB1→〉＝AN→·CB1→|AN→|·|CB1→|＝12，〈AN→，CB1→〉＝60°.所以B1C与平面BCD所成的角为30°.利用空间向量解决存在性问题题型特点：立体几何中的探索性、存在性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．知识方法：存在性问题即在一定条件下论证会不会出现某个结论．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面内的射影恰为O点，BO＝2，PO＝2，PB⊥PD，点M在棱PC上，且PMMC＝λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD?例4【解】∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.又PB⊥PD，∴△PBD为直角三角形，PO是斜边BD上的高．由直角三角形的射影定理，可得PO2＝BO·OD，其中PO＝2，BO＝2，∴DO＝1.由四边形ABCD为等腰梯形，易知DO＝OC＝1，BO＝AO＝2.以O点为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O(0,0,0)，B(0,2,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0，2)．设M(x0,0，z0)，∵P，M，C三点共线，∴z0＝2x0＋2.①∵PC⊥平面BMD，∴OM⊥PC，即OM→·PC→＝0，其中OM→＝(x0,0，z0)，PC→＝(－1,0，－2)．∴OM→·PC→＝－x0－2z0＝0.②由①②，解得x0＝－23，z0＝23.∴M－23，0，23.∴λ＝PMMC＝2.∴当λ＝2时，PC⊥平面BMD.利用空间向量求距离题型特点：近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．知识方法：求点到平面的距离有三种方法：定义法、等体积法及向量法．设点A到平面α的距离为d，点B是平面α内的任意一点，AB→不是平面α的法向量，则d＝|AB→·n||n|(n为平面α的法向量)．例5知空间中点的坐标为A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,6)，D(－5，－4,8)，求点D到平面ABC的距离．【思路点拨】求出AD→及平面ABC的法向量n，再由d＝|AD→·n||n|来解答．【解】∵AB→＝(2，－2,1)，AC→＝(4,0,5)，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则AB→·n＝0AC→·n＝0，∴2x－2y＋z＝04x＋5z＝0，∴x＝－54z，y＝－34z，∴n＝－54z，－34z，z，令z＝4，得n＝(－5，－3,4)．又AD→＝(－7，－7,7)，∴点D到平面ABC的距离d＝|AD→·n||n|＝|35＋21＋28|25＋9＋16，∴d＝4225.