2自动控制原理自学课件第二章 控制系统的数学模型2

§2-3线性系统的传递函数控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系统的动态过程。但是当系统的参数或结构形式发生变化时，微分方程及其解都会同时变化，需要重新列写微分方程和求解微分方程，不便于对系统进行分析与研究。根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基础上建立起来的。1一、传递函数的定义线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程标准形式为在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn)(][)(][01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn2根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传递函数为可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征系统的动态性能。)502()()()(01110111asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm3二、传递函数的性质从线性定常系统传递函数的定义可知，传递函数具有以下性质：1.传递函数的定义只适用于线性定常系统。2.传递函数是在初始条件为零时定义的。控制系统的初始条件为零有两个含义：一是指输入量是在时间t=0-以后才作用于系统。因此，系统输入量及其各阶导数在t=0-时的值均为零；二是指输入量作用于系统之前，系统是相对静止的。因此，系统输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零。43.传递函数是复变量s的有理分式函数，它具有复变函数的所有性质。其分子和分母多项式的系数均为实数，都是由系统的物理参数决定的。其分子多项式的阶次m低于或等于分母多项式的阶次n，即m≤n。这是因为系统（或元部件）具有惯性的缘故，即能量不能突变。4.传递函数是描述系统（或元部件）动态特性的一种数学表达式，它只取决于系统（或元部件）的结构和参数，而与输入量和输出量的形式和大小无关。并且传递函数只反映系统的动态特性，而不反映系统物理性能上的差异，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。55.传递函数与微分方程之间的关系。dtdS微分方程传递函数如果将置换012201asasabsbsRsCsGsRbsbsCasasa010122trbdttdrbtcadttdcadttcda010122266传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)脉冲响应（也称脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应，此时：由卷积定理可知，对于任意输入r(t)的响应c(t)，有：t1tLsRtttdgtrdtgrdtgrLLsRsGLsCLtc000111tgsGLsRsGLsCLtc111g(t)=L-1[G(s)]为系统的脉冲响应见P31—卷积定理7为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，式（2-51）中的K常称为传递函数的增益或传递系数的放大系数。式（2-52）中zj(j=1,2,…,m)为分子多项式的根，称为传递函数的零点。pi(i=1,2,…,n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。)522()()()())(()())(()()512()1()1()1()1)(1()1()1)(1()(112121112121niimjjrnmrniimjjnmpszsKpspspszszszsKsGsTsKsTsTsTsssKsG或8传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数，由于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数，故若有复数零、极点时，它们必是成对共轭的。传递函数的分母多项式就是相应微分方程式（2-49）的特征多项式，令该分母多项式等于零，就可得到相应微分方程的特征方程。在特征方程中，s的最高阶次等于输出量最高阶导数的阶次，如果s的最高阶次等于n，这种系统就称为n阶系统。)492()()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn9)()()()()(01110111sDsNasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm运动模态）决定系统响应的类型（它们是）传递函数的极点特征方程的根等于（就式特征方程＝,0)(0111jnnnnpasasasasD)()()()()()()()(0111101111trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。状它们决定系统响应的形传递函数的零点,iz101传递函数G(s)的极点对输出的影响2136ssssRsCsG521521srsrsRerrtrTLt.传函：输入：响应：ttterrerrerrsrsrsssLsCLtc22112521211123123952136前两项具有与输入函数r(t)相同的模态，后两项包含了由极点-1和-2形成的自由运动模态。这是系统“固有”的成分，但其系数却与输入函数有关，因此可认为这两项是受输入函数激发而形成的。这意味着传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。11))((.)())(()()())((.)()()())(()()()(2125121242125121241211112211ssssLtcssssLsCLtcssssRsCsGssssRsCsG＝＝＝＝j0-1-2-11-0.5-1.33Z1Z2极点和零点分布图2传递函数G(s)的零点对输出的影响r(t)=1012345tc(t)tteetc225.05.01)(tteetc21321)(r(t)=1012345tc(t)tteetc225.05.01)(tteetc21321)(输出响应传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但是却影响在响应中各模态所占比重，因而也就影响响应曲线的形状。单位阶跃响应：12一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和工作原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节。13如果将传函写成上式，可以看出具有以下几种典型环节：hjhnjjjjjlislmiiiiisTsTsTsesssKsRsCsG1)(211221)(21122)12()1()12()1()()()(比例环节K微分环节s积分环节1/s惯性环节1/(Ts+1)振荡环节一阶微分环节二阶微分环节滞后环节)12(122TssT1s1222ssse14)()(tKrtcKsRsCsG)()()(15在上图中，运算放大器具有很大的开环放大系数，且其输入电流很小，可以忽略，因此A点对地电位近似为零，于是有i0=i1=ur/R0，而电压uc又近似等于R1两端电压，故有-+Ai0R0R1i1urucrrccrKuuRRuRuRu0110或无限大的输入阻抗（理想的运算放大器输入端不容许任何电流流入）趋近于零的输出阻抗16下图为一测速发电机，在不计所接负载的影响时，其输出端电压u与输入转速n的关系为u=Kn式中K为测速发电机的比例系数un172.惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输入、输出之间的微分方程为式中T为时间常数，K为比例系数惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数T愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。)562(1)()()()552()()()(TsKsRsCsGtKrtcdttdcT传递函数为18若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号，则有可见，在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。当t=3T~4T时，输出才能接近其稳态值。如下图所示)111(11)()()(TssKsTsKsRsGsC)1()(1TteKsCLtc由拉氏反变换得19例1对由RC元件组成的无源网络，其传函可由两种方式获得先写微分方程，再进行L.T，整理可得用复阻抗直接求得dtduciidtcuuuRiccc1uudtduRCccsUsURCsc12.UCsRCsUc111111TsRCsUUsGc复阻抗计算：CsCLsLRR1,,20图示的直流电机的激磁电路中，当以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量时，其电路方程为式中为激磁绕组的电磁时间常数。ffffffffffuRidtdiuiRdtdiL1或fffRLufRfLfif11sRsUsIsGffff21例:说明负载效应两环节串连，若后一环节的运行状态影响前一环节的输出，则说明两环节间存在“负载效应”（又称单向性原则）。对实际存在的负载效应，不能将串连环节的传函相乘。要求后级网络的输入阻抗足够大，或要求前级网络的输出阻抗趋于0，或在两级网络之间接入隔离放大器。tuituc1R1Ctituo2R2Cti2ti1dtiCudtiCiRdtiiCdtiiCiRuoi2222222112111111111121221122121sCRCRCRsCCRRsG1122112212121sCRCRsCCRRsGsGsG223.积分环节积分环节的微分方程是式中K=1/T，称为积分环节的放大系数，而T称为积分时间常数。积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。由式（2-58）求得积分环节的单位阶跃响应为c(t)=L-1[C(s)]=L-1[K/s2]＝Kt单位阶跃响应的斜率为K，如右图所示。)582()(1)()()572()()(dttrTdttrtctKrdttdc或)592(1)()()(TssKsRsCsG传递函数为K23下图给出了积分环节的实例。在图(a)中，因为而输出电压uc近似等于电容两端电压，所以有在图(b)中，以电动机的