大学物理第四章之流体力学

第三节理想流体的流动流体:液体和气体的各个部分间可以作相对运动,液体和气体的这种性质称流动性,液体和气体统称流体.流动性是流体区别于固体的重要特征.流体力学:研究流体的运动规律及流体与相邻固体之间相互作用规律的科学.一理想流体的定常流动1.流体的性质---四性（1）流动性（2）连续性（3）可压缩性（4）粘滞性如果把流体看作是由无数个小质元构成,各质元之间没有间隙.流体可压缩,但不同种类的流体差别非常大;问题是如何压缩流体?密闭容器.如何鉴别清水、糖水和盐水？粘滞性是不同部分流体质元之间的摩擦力,由于这种摩擦发生在流体的内部,所以叫做内摩擦力.2.理想流体的稳定(定常)流动（1）理想流体:不可压缩,没有粘滞性的流体.（2）稳定流动:若流体空间各点的速度分布不随时间变化,则该流动称稳定流动.（3）流线:光滑曲线,曲线上各点的切线方向都与该点的流速方向一致,所以流线实际上是流体职员的运动轨迹..（4）流管:由流线围成的管子称流管.细流管：任一横截面上各点的物理量相同或近似相同的流管。稳定流动的流线也是稳定的.在稳定流动的不可压缩流体中取一细流管,在其上任取两个横截面S1和S2,设S1和S2处的流速分别为v1和v2,则在单位时间内流过S1的流体体积为S1v1,流过S2的流体体积为S2v2,则2211ss1s3.连续性原理由于两截面是任取的,所以对同一流管中任意截面处,上式都成立,即有QvsvS是单位时间内流过截面S的流体体积,称流量,用Q表示.连续性原理:不可压缩的流体作稳定流动时,同一流管中任一横截面处的流量相等.由连续性原理可知,流管的截面积大处流速小,截面积小处流速大.二.理想流体的伯努利方程设理想流体在重力场中作稳定流动,在流体中取一细流管,在其上选a1b1段流体为研究对象,该段流体经△t时间流动到a2b2位置,其机械能的改变量为1122babaEEE2121aabbEE)21()21(11121112222222tghvstvvstghvstvvs11212222)21()21(VghvVghv该流段所受合外力作的功为2211222111VPVPtvsPtvsPA由功能原理得22221211ghv21Pghv21P由于流段是任取的,所以对同一流管上任意横截面处都有下式成立,该式称伯努利方程.恒量ghv21P2:P上式中:单位体积流体的压强能;:212v恒量ghv21P2:gh单位体积流体的动能;单位体积流体的势能能;显然,理想流体作稳定流动时与三种能量之和有关,我们将这三项之和称为流动能.由于理想流体在流动过程中没有能量损失,所以流动能保持不变,这就是柏努利方程所表达的意义.2、伯努利方程的应用（1）小孔流速一大蓄水池,下面开一小孔放水.设水面到小孔中心的高度为h,求小孔处的流速vB.在水中取一流线,在该流线上取液面下一点A及小孔处B点,应用伯努利方程AhBhhABCBBBAAAghvPghvP222121代入已知条件得gh)hh(gv21BA2B即gh2vB)PP(gh2v0CCghv21ghPP2CAC（2）比多管比多管是用来测量流体流速的仪器,常称流速计.BC)(a当测液体流速时,比多管如图(a)放置.)0v(ghv21PghPAO2OOAA沿CB流线应用伯努利方程C2CCB2BBghv21Pghv21P由于O、C两点很近,则有B2BBAAghv21PghPhOA由于hA≈hB,则)(2BABPPv其中ghPPBA则gh2vBgh2vB当测气体的流速时,比多管如图(b)放置.由于U形管中注有密度为ρ΄的液体,此时有PA-PB=,则B处气体的流速为gh（3）范丘里流量计范丘里流量计是一种最简单的流量计，测量时如图放置。在A﹑B两点处取截面SA﹑SB，应用伯努利方程hAB2BB2AAv21Pv21P将PA-PB=ρgh,SAvA=SBvB代入上式得2B2A2ABSSghS2v2B2ABABBAASSgh2SSvSvSQ例题水管里的水在压强=4.0×105Pa作用下流入室内，水管的内直径为2.0cm，管内水的流速为4.0m·s-1。引入5.0m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm。求浴室内水的流速与压强。解:为流体中所涉及的那段流管，根据连续性原理可知，出口处流速为2112SSvv22010.0020.00.410.16sm选流入处为参考平面，即令=0，根据伯努利方程求得高处的压强22222112121ghvpvp2222112)(21ghvvpp0.58.910)0.160.4(1021100.432235Pa5103.2可以与关上水龙头后，出口处水的压强对照一下，此时，出口处的压强为)(2112hhgpp)0.50(8.910100.435Pa5105.3例如图所示,利用一管径均匀的虹吸管从水库中引水，其最高点B比水库水面高3.0m，管口C比水库水面低5.0m,求虹吸管内水的流速和B点处的压强.解:(1)对A、C两点应用伯努利方程C2CCA2AAghv21Pghv21P由于PA=PC=P0,vA=0,所以)(2CAChhgvsmgh/9.922(2)对B、C两点应用伯努利方程C2CCB2BBghv21Pghv21P由于PC=P0,vB=vC,则有)(0CBBhhgPPPahhgP4210103.2)(由此可见，虹吸管最高处的压强比大气压强小．第四节粘滞流体的运动规律粘滞性不可忽略的流体称粘滞流体，本节研究不可压缩粘滞流体的运动规律。一.粘滞流体的流动形态1.层流---流速较小时的流动状态rOK如图滴定管中，上部为有色甘油，下部为无色甘油。层流特点：只有切向速度，没有径向速度。流体做层流时:流量大,阻力小.2.湍流流速增大到一定程度，流速出现径向分量，此时的流动状态称湍流。流体做湍流时:流量小,阻力大.二.粘滞系数和雷诺数1.粘滞系数(1)速度梯度粘滞流体作层流，其速度随r增大而减小，即，称速度梯度。0drdvdrdv(2)牛顿粘滞定律牛顿发现,接触面为ΔS的相邻流层间的粘滞力为Sdrdvf(3)粘滞系数η，单位：Pa·sη由流体本身的性质决定，同时还与温度和压强有关;气体与液体的情况不同.2.雷诺数(1)雷诺数，为一无量纲纯数，用于判断粘滞流体的流动形态,雷诺数相同时流动状态相同。vdR(3)当R2000时为层流；当R2600时为湍流；当2000R2600时为层流和湍流的混合状态。(2)每一种流动存在有一临界雷诺数cRR也适合固体在流体中运动时，其周围流体运动形态的判断，此时d为反映固体几何形状的线度。三．粘滞流体的伯努利方程设不可压缩的粘滞流体作稳定层流，由于存在粘滞力，流体流动时有能量损失，则粘滞流体的伯努利方程为Eghv21Pghv21P22221211例：水在均匀水渠中作稳定层流，设水不深，求维持稳定层流的条件。由已知条件：v1=v2,P1=P2=P0,则由得若为理想流体，则ΔE=0,h1=h2.Eghv21Pghv21P22221211gEhh21例：水在均匀水平管中作稳定层流，求维持稳定层流的条件。由已知条件:v1=v2,h1=h2,则由得若为理想流体，则有ΔE=0,P1=P2.EghvPghvP222212112121EPP21四.泊肃叶公式泊肃叶公式为粘滞流体在等截面水平圆管中作稳定层流时的流量公式。推导思路：由于每层的流速不同，所以要先求出速度随半径的变化规律，在由式求流量dSrvQ)(v1f2frRfl1P2P(1)取体积元如图，受力分析：222112,rPfrPf)0(,2drdvrldrdvf设体积元匀速运动，则0)2(0222121rldrdvrPrPfff)(4)(22221021rRlPPrvdvrdrlPPvRr2214RlPPvm即管对称轴处速度最大。2.求Q取面积元如图，则drrrRrdrrvdSrvdQ2)()(rdrrRlPP2)(42221rdrrRlPPQR)(2)(02221)(8214PPlR若令，则，Z称流阻，该式称达西定理。48RlZZPPQ21例温度为37℃时，水的粘度为6.91×10-4Pa·s,水在半径为1.5×10-3m，长为0.2m的水平管内流动，当管两端的压强差为4.0×103Pa时，每秒流量为多少？)(8214PPlRQ解:3443100.42.01091.68)105.1(14.31351075.5sm例血液流过一条长为1mm，半径为2µm的毛细血管时，如果最大流速为0.66mm·s-1,血液的粘滞系数为4.0×10-3Pa·s，求毛细血管的血压降为多少？2214RlPPvm由解:2214RlvPPPm26333)102(1066.0101100.44Pa31064.2五.斯托克斯公式当固体在流体中运动时，若固体与流体的相对速度不大，流体可视为作稳定层流，此时固体所受的阻力f=kηvl,当固体为小球时，f=6πηvr.vrf6grF334grG334v小球在静液体中作自由下落，受力分析如图。由于f∝v,则当F+f=G时，小球作匀速下降，且速度最大，称收尾速度。9)(22grvTTvgr9)(22例（1）在20℃的空气中，一半径为1×10-5m、密度为2.0×103kg﹒m-3的球状灰尘微粒的收尾速度是多少？（2）求灰尘微粒在收尾速度时所受的阻力？空气的粘滞系数为1.81×10-5Pa·s，在20℃时空气的密度为1.22kg·m-3。解：（1）设空气作稳定层流，则12255321041.28.9)101(1081.19)22.1100.2(29)(2smgrvT（2）所受阻力为5251011041.21081.114.366rvfTN111022.8水泵吸水原理如图所示，视水为粘滞流体，要求吸水高度Hs,则取流线上1﹑2两点，有SH11vP1··222vPZZ0PEghvPghvP222212112121SHhhvPP21101,0,0,取gEgvgPPHS22220gEgvHgPPS22220度。为水泵进水口处的真空gPP20例.水泵吸水原理有一水泵，已知其抽水量Q=0.03m3·s-1,吸水管直径d=0.15m，水泵进水口处的真空度为6.8m水柱，吸水管路全部水头损失hE=1.0m水柱，试求吸水高度？解：smdQv7.1)215.0(14.303.04)2(222mgv15.08.927.12222mhgvgPPHES65.50.115.08.622220