2020中考数学大一轮复习课件26：位似图形及相似形的应用

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第八单元相似形第26课时位似图形及相似形的应用考点梳理考点1位似图形[核心考点]定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做，这个点叫做．两个位似图形的叫做位似比．位似图形位似中心相似比性质1.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于；2．位似图形对应点的连线或延长线；3．位似图形的对应线段；4．位似图形的对应角；5．在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于.位似比相交于一点平行或共线且成比例相等k或－k画法(1)确定位似中心；(2)将图形各顶点与位似中心连接(或延长)；(3)按位似比取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形.【易错提醒】1.位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，位似图形与它们的位置有关，而相似图形与它们的位置无关；2．位似图形是一种特殊的相似图形，它的每一组对应点所在的直线都经过同一个点．考点2相似三角形的应用1．几何图形的证明与计算，主要与线段的数量关系、线段的长度、图形的面积等有关，解决这类问题首先要根据题中条件，寻找出相似的三角形，再利用相似三角形的性质来解答．2．生活中与相似三角形有关的实际问题有以下几种类型：①利用投影、平行线、标杆等构造相似形求解问题；②测量底部可以到达的物体的高度；③测量底部不可以到达的物体的高度；④测量不可以到达对岸的河的宽度．归类探究类型之一位似图形及其性质1(2018·潍坊)在平面直角坐标系中，P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为()A．(2m,2n)B．(2m,2n)或(－2m，－2n)C.12m，12nD.12m，12n或－12m，－12nB【解析】P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为(m·2，n·2)或(m·(－2)，n·(－2))，即(2m,2n)或(－2m，－2n)．故选B.【点悟】如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.【变式训练】1．(2019·邵阳)如图26­1，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是()图26­1CA．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′【解析】∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′在同一直线上，AB∥A′B′，AO∶OA′＝1∶2.选项C错误，符合题意．故选C.2．(2019·百色)如图26­2，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形．若点A(2,2)，B(3,4)，C(6,1)，B′(6,8)，则△A′B′C′的面积为.图26­218类型之二画位似图形2(2019·安徽铜陵市一模)如图26­3，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．图26­3(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2.解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求．例2答图(2)如答图，△A2B2C2即为所求．【点悟】画位似图形的一般步骤：(1)确定位似中心；(2)分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；(3)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．【变式训练】3．如图26­4，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1,2)，B(－3,4)，C(－2,6)．图26­4(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求．变式训练3答图(2)如答图，△A2B2C2即为所求，点A2，B2，C2的坐标分别为A2(－2,4)，B2(2,8)，C2(6,6)．类型之三利用相似解决生活中的实际问题3(2018·陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图26­5.请根据相关测量信息，求河宽AB.图26­5解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC＝∠ADE＝90°.又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴BCDE＝ABAD.∵BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m，∴11.5＝ABAB＋8.5，解得AB＝17m.∴河宽AB为17m.【点悟】对于相似形的应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，从实际问题中抽象出相似三角形，进而利用对应边成比例列方程解题．【变式训练】4．(2018·吉林)如图26­6是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝m.图26­6100【解析】∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC＝BDCD，即AB50＝12060，解得AB＝100m.5．(2019·荆门)如图26­7，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2m，BD＝2.1m．如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE.图26­7解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC，FA相交于点M，如答图，连接GF并延长交OE于点H.∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，△MOA∽△MHF，∴ACFG＝MAMF＝MOMH，即ACBD＝OEMH＝OEEO＋OH＝OEOE＋BF，变式训练5答图∴OEOE＋1.6＝22.1，∴OE＝32m.答：楼的高度OE为32m.课时作业1．(2018·临沂)如图26­1，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则建筑物CD的高是()图26­1BA．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m【解析】由题意知，BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴BECD＝ABAC，即1.2CD＝1.61.6＋12.4，解得CD＝10.5m．∴CD的高是10.5m．故选B.图26­22．(2018·长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长为五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为()A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺B【解析】设竹竿的长度为x尺．∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴x15＝1.50.5，解得x＝45.∴竹竿的长度为四丈五尺．故选B.3．(2018·绍兴)学校门口的栏杆如图26­3，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为点B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆D端应下降的垂直距离CD为()C图26­3A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°.又∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴AOAB＝COCD，即41.6＝1CD，∴CD＝0.4m．故选C.4．(2018·滨州)在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8)，B(10,2)，若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的12后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为()A．(5,1)B．(4,3)C．(3,4)D．(1,5)C【解析】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的12后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半．又∵A(6,8)，∴端点C的坐标为(3,4)．故选C.5．(2017·滨州)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2,3)，D(1,0)，现以原点O为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上，且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为．(4,6)或(－4，－6)6．如图26­4，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1m，胶片的高BC为0.038m．若需要投影后的图象DE高1.9m，则投影机光源离屏幕大约为m.图26­45【解析】如答图，过点A作AG⊥DE于点G，交BC于点F.第6题答图∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，AG⊥BC，AF＝0.1m.设AG＝hm，则AFAG＝BCDE，即0.1h＝0.0381.9，解得h＝5.7．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问出南门几步而见木？”其意思是：如图26­5，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步．20003图26­5【解析】∵DG∥KC，AH∥KD，∴△AHD∽△DKC，∴AHDK＝HDKC，即15100＝100KC，解得KC＝20003.8．如图26­6，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．已知DE＝0.5m，EF＝0.25m，目测点D到地面的距离DG＝1.5m，到旗杆的水平距离DC＝20m，求旗杆的高度．图26­6解：∵∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，∴△DEF∽△DCA，∴DEDC＝EFCA.∵DE＝0.5m，EF＝0.25m，DC＝20m，∴0.520＝0.25CA，解得CA＝10m，∴AB＝10＋1.5＝11.5(m)．答：旗杆的高度为11.5m.9．(2019·巴中)△ABC在边长为1的正方形网格中，如图26­7所示．图26­7(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2，且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标；(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C；(3)在(2)的条件下，求出点B经过的路径长．解：(1)如答图，△A1B1C即为所求，点A1的坐标为(3，－3)．第9题答图(2)如答图，△A2B2C即为所求．(3)点B绕点C顺时针旋转90°，半径为BC＝17，∴路径长为90·π·17180＝17π2.10．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享的发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要进行两次测量．他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图26­8，小芳在小