2020中考数学大一轮复习课件09：一元二次方程

第一部分数与代数考点梳理归类探究课时作业第三单元方程(组)与不等式(组)第9课时一元二次方程考点梳理考点1一元二次方程的概念及解法[核心考点]1．定义：只含有未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．其中ax2叫做项，a是系数；bx叫做项，b是系数；c叫做项．一个二次二次项一次一次项常数【易错提醒】利用一元二次方程的定义求字母系数的取值范围时，要注意二次项系数不为0的隐含条件．考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系[核心考点]根的判别式关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为.判别式与根的关系(1)b2－4ac0⇔方程的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程的实数根；(3)b2－4ac0⇔方程实数根．b2－4ac有两个不相等有两个相等没有根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，则x1＋x2＝，x1·x2＝.－baca【易错提醒】(1)使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件．(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式要满足b2－4ac≥0.考点3一元二次方程的应用[核心考点]基本步骤审、设、列、解、验、答．常见类型(1)增长率(降低率)问题：设a为基础量，b为结果量，x为增长率(或降低率)，n为增长或降低的次数，则有a(1±x)n＝b.初中阶段，涉及的问题通常是增长或降低两次，因此n＝2，即a(1±x)2＝b.(2)面积问题：熟记矩形、三角形等面积公式是关键．求解不规则图形的面积问题时，通常是把不规则图形转化成规则图形，找出变化前后面积之间的关系，再求解.归类探究类型之一一元二次方程及其解的概念1(2018·资阳)已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为0，则m＝.2【解析】∵关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为0，∴m2－2m＝0且m≠0，解得m＝2.【点悟】已知一元二次方程的根求未知系数，其方法如下表：已知一根直接代入原方程，得到一个关于待定系数的方程，解方程求出待定系数的值．把两根直接代入原方程，列出关于待定系数的方程组，解方程组，求出待定系数．已知两根利用根与系数的关系求解.注意求出的待定系数不能使二次项系数为0.【变式训练】1．(2018·宁夏)若2－3是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是()A．1B．3－3C．1＋3D．2＋3A【解析】方法一(直接代入法)：∵关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个根是2－3，∴(2－3)2－4(2－3)＋c＝0，解得c＝1.故选A.方法二(根与系数关系法)：设方程的另一根为x0，则有x0＋(2－3)＝4，解得x0＝2＋3，∴c＝(2－3)x0＝(2－3)(2＋3)＝1.故选A.2．(2018·扬州)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2015的值为.2018【解析】由题意可知，2m2－3m－1＝0，∴2m2－3m＝1，∴原式＝3(2m2－3m)＋2015＝2018.类型之二一元二次方程的解法2(1)(2018·铜仁)关于x的一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为()A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝－1，x2＝－3(2)(2018·齐齐哈尔)解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．(3)(2019·常德)解方程：x2－3x－2＝0.C(1)【解析】分解因式，得(x－1)(x－3)＝0，∴x－1＝0或x－3＝0，解得x1＝1，x2＝3.故选C.(2)解：2(x－3)＝3x(x－3)，移项，得2(x－3)－3x(x－3)＝0，整理，得(x－3)(2－3x)＝0，∴x－3＝0或2－3x＝0，解得x1＝3，x2＝23.(3)解：∵a＝1，b＝－3，c＝－2，∴Δ＝(－3)2－4×1×(－2)＝170，∴x1＝3＋172，x2＝3－172.【点悟】对于形如x2＋(a＋b)x＋ab＝0的一元二次方程，我们可以直接将方程变形为(x＋a)(x＋b)＝0，然后解x＋a＝0，x＋b＝0，即得方程的解为x1＝－a，x2＝－b.【变式训练】3．(2019·金华)用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是()A．(x－3)2＝17B．(x－3)2＝14C．(x－6)2＝44D．(x－3)2＝1A【解析】解方程x2－6x－8＝0，配方，得(x－3)2＝17.故选A.4．(2018·黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则这个三角形的周长为.16【解析】解方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.∵3第三边的边长9，∴第三边的边长为7.∴这个三角形的周长是3＋6＋7＝16.5．解方程：x2－3x＋2＝0.解：解法一(求根公式法)：∵a＝1，b＝－3，c＝2，b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝10，∴x＝－b±b2－4ac2a＝－－3±12×1，∴x1＝1，x2＝2.解法二(配方法)：原方程可化为x2－3x＝－2，配方，得x2－3x＋322＝－2＋322，即x－322＝14，∴x－32＝±12，∴x1＝1，x2＝2.解法三(因式分解法)：∵x2－3x＋2＝0，∴(x－1)(x－2)＝0，∴x－1＝0或x－2＝0，∴x1＝1，x2＝2.类型之三一元二次方程的根的判别式3(1)(2019·湘西州)一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断C(2)(2019·枣庄)已知关于x的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.(3)已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.①若此方程的一个根为1，求m的值；②求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．a－13且a≠0(1)【解析】∵a＝1，b＝－2，c＝3，∴b2－4ac＝4－4×1×3＝－80，∴此方程没有实数根．故选C.(2)【解析】∵关于x的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0，且22－4a(－3)0，解得a－13且a≠0.(3)①解：根据题意，将x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0，得1＋m＋m－2＝0，解得m＝12.②证明：∵Δ＝m2－4×1·(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋40，∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【点悟】中考中，根的判别式主要有三方面的应用：(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况，如第(1)题．(2)根据根的情况，确定某个未知系数的值(或取值范围)，如第(2)题．对于这类题，一定要注意隐含条件，比如二次项系数不为0.(3)证明一元二次方程的根的情况，如第(3)题．【变式训练】6．(2017·常德)一元二次方程3x2－4x＋1＝0的根的情况为()A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根D【解析】∵Δ＝(－4)2－4×3×1＝40，∴方程有两个不相等的实数根．故选D.7．(2019·自贡)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是()A．m1B．m≥1C．m≤1D．m1D【解析】∵方程无实数根，∴Δ＝(－2)2－4×1·m＝4－4m0.解得m1.故选D.8．(2017·北京)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围．(1)证明：∵对于方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0，Δ＝[－(k＋3)]2－4(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)解：∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1.∵方程有一根小于1，∴k＋11，解得k0，∴k的取值范围为k0.类型之四(选学)一元二次方程根与系数的关系4(2018·随州)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若1x1＋1x2＝－1，求k的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋3)2－4k20，解得k－34.(2)∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的实数根，∴x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝－2k＋3k2＝－1，解得k1＝3，k2＝－1.经检验，k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根．又∵k－34，∴k＝3.【点悟】运用根与系数的关系解题时，常见的恒等变形有：x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2，|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2等．值得注意的是，利用根与系数的关系解题，要注意Δ≥0的条件．【变式训练】9．(2019·攀枝花)已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两根，则x21＋x22＝.6【解析】由一元二次方程根与系数的关系，可得x1＋x2＝2，x1x2＝－1，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝22＋2＝6.10．(2019·巴中)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)设x1，x2是方程的两根，且x21＋x22＋x1x2－17＝0，求m的值．解：(1)Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5，∵原方程有两个不相等的实数根，∴4m＋50，m－54.(2)由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－1，∴原方程可化为(x1＋x2)2－x1x2－17＝0，即(2m＋1)2－(m2－1)－17＝0，解得m1＝53，m2＝－3.∵m－54，∴m＝53.类型之五一元二次方程的应用5(2019·长沙)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？解：(1)设增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.42，解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%.答：增长率为10%.(2)2.42×(1＋0.1)＝2.662(万人次)．答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．【点悟】对于平均增长(降低)率问题，应用公式a(1±x)2＝b可直接列方程，其中a为增长(降低)前的基础数量，x为增长率(降低率)，b为增长(降低)后的数量．解这类问题，还要注意两点：一是设增长率(降低率)为x，而不设为x%，这样能简化计算；二是要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．【变式训练】11．有一幅长20cm、宽12cm的图案，如图9­1，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2.图9­1(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案总面积的25，求横、竖彩条的宽度．解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为32xcm.∴y＝20×32x＋2×12·x－2×32x·x＝－3x2＋54x，即y与x之间的函数关系式为y＝－3x2＋54x.(2)根据题意，得－3x2＋54x＝25×20×12，整理，得x2－18x＋32＝0，解得x1＝2，x2＝16(不合题意，舍去)．∴32x＝3.答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm.12．(2018·盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件