椭圆标准方程典型例题及练习题

1椭圆标准方程典型例题例1已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F、2F，且3541PF，3522PF．从椭圆定义知52221PFPFa．即5a．从21PFPF知2PF垂直焦点所在的对称轴，所以在12FPFRt中，21sin1221PFPFFPF，可求出621FPF，3526cos21PFc，从而310222cab．∴所求椭圆方程为1103522yx或1510322yx．例2已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积．解：如图，设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：221FF2221PFPF12PF·224coscPF．①由椭圆定义知：aPFPF221②，则－①②2得cos12221bPFPF．故sin212121PFPFSPFFsincos12212b2tan2b．例3已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，2半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例4已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为11yxM，，22yxN，，线段MN的中点yxR，，则④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121①－②得0221212121yyyyxxxx．由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将③④代入得022121xxyyyx．⑤（1）将21x，21y代入⑤，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx．⑥将⑥代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求．（2）将22121xxyy代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入⑤得所求轨迹方程为：022222yxyx．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：2222212221yyxx，⑦，将③④平方并整理得212222124xxxxx，⑧，3212222124yyyyy，⑨将⑧⑨代入⑦得：224424212212yyyxxx，⑩再将212121xxyy代入⑩式得：221242212212xxyxxx，即12122yx．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例5已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx．020161542222mmm，解得2525m．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx．根据弦长公式得：51025145211222mm．解得0m．方程为xy．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例6以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．解：如图所示，椭圆131222yx的焦点为031，F，032，F．点1F关于直线09yxl：的对称点F的坐标为（－9，6），直线2FF的方程为032yx．4解方程组09032yxyx得交点M的坐标为（－5，4）．此时21MFMF最小．所求椭圆的长轴：562221FFMFMFa，∴53a，又3c，∴3635322222cab．因此，所求椭圆的方程为1364522yx．例7求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程．解：设所求椭圆方程为122nymx(0m，0n)．由)2,3(A和)1,32(B两点在椭圆上可得,11)32(,1)2()3(2222nmnm即,112,143nmnm所以151m，51n．故所求的椭圆方程为151522yx．例8已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121xxkAB]4))[(1(212212xxxxk．因为6a，3b，所以33c．因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx．设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而1348]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122．在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m．同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB．(法3)利用焦半径求解．5先根据直线与椭圆联立的方程0836372132xx求出方程的两根1x，2x，它们分别是A，B的横坐标．再根据焦半径11exaAF，21exaBF，从而求出11BFAFAB．例9椭圆192522yx上的点M到焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，则ON（O为坐标原点）的值为A．4B．2C．8D．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F，由椭圆第一定义得10221aMFMF，所以82101012MFMF，又因为ON为21FMF的中位线，所以4212MFON，故答案为A．说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离例10已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．解：设椭圆上),(11yxA，),(22yxB两点关于直线l对称，直线AB与l交于),(00yxM点．∵l的斜率4lk，∴设直线AB的方程为nxy41．由方程组,134,4122yxnxy消去y得0481681322nnxx①。∴13821nxx．于是1342210nxxx，13124100nnxy，即点M的坐标为)1312,134(nn．∵点M在直线mxy4上，∴mnn1344．解得mn413．②将式②代入式①得048169261322mmxx③∵A，B是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(22mm．解得1313213132m．6例11在面积为1的PMN中，21tanM，2tanN，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程．解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设),(yxP．则.1,21,2cycxycxy∴233435ccycx且即)32,325(P∴,43,13412252222baba得.3,41522ba∴所求椭圆方程为1315422yx例12已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程．解：设所求直线方程为)4(2xky．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222kxkkxk①设直线与椭圆的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是①的两根，∴14)24(8221kkkxx∵)2,4(P为AB中点，∴14)24(424221kkkxx，21k．∴所求直线方程为082yx．例13.．已知F1、F2是椭圆x2100＋y264＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．(1)若∠F1PF2＝π3，求△F1PF2的面积；(2)求PF1·PF2的最大值．解：(1)设PF1＝m，PF2＝n(m0，n0)．根据椭圆的定义得m＋n＝20.在△F1PF2中，由余弦定理得PF21＋PF22－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝F1F22，即m2＋n2－2mn·cosπ3＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝2563.又∵S△F1PF2＝12PF1·PF2·sin∠F1PF2＝12mn·sinπ3，∴S△F1PF2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a＝10，∴根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2PF1·PF2，∴PF1·PF2≤PF1＋PF222＝2022＝100，当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．∴PF1·PF2的最大值是100.7练习题题型一求椭圆的标准方程例1(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为____________；(2)(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．题型二椭圆的几何性质例2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，