复变函数与积分变换习题解答

复变函数与积分变换习题解答1练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。（1）iiii524321；解：iiii524321=i2582516zkkArgzzzz221arctan2558258Im2516Re（2）3)231(i解：3)231(izkkArgzzzzeii210Im1Re1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。1）i31解：i31)35sin35(cos2i（2）ii12解：ii12)4sin4(cos21ii3．利用复数的三角表示计算下列各式。（1）ii2332解：ii23322sin2cosii（2）422i复变函数与积分变换习题解答2解：422i41)]43sin43(cos22[i3,2,1,0]1683sin1683[cos2]424/3sin]424/3[cos28383kkikkik4．.设321,,zzz三点适合条件：321zzz=0，,1321zzz321,,zzz是内接于单位圆z=1的一个正三角形的项点。证：因,1321zzz所以321,,zzz都在圆周,11zz又因321zzz=0则,321zzz1321zzz，所以21zz也在圆周1z上，又,12121zzzz所以以0，211,zzz为顶点的三角形是正三角形，所以向量211zzz与之间的张角是3，同理212zzz与之间的张角也是3，于是21zz与之间的张角是32，同理1z与3z，2z与3z之间的张角都是32，所以321,,zzz是一个正三角形的三个顶点。5．解方程013ziiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23213sin3cos2,1,032sin32cos1:3213解6．试证：当1,1时，则11。z3z2z1+z20复变函数与积分变换习题解答3证：1117．设,0(cos21zzz是Z的辐角），求证.cos2nzznn证：01cos2cos221zzzz则sincosiz当sincosiz时sincos1iznnininzznncos2)]sin()[cos()sin(cos故nzznncos2当sincosiz时，同理可证。*8.思考题：（1）复数为什么不能比较大小？答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点。（2）是否任意复数都有辐角？答：否，0z是模为零，辐角无定义的复数。复变函数与积分变换习题解答4练习二1．指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线？（1）4)arg(iz解：设iyxz则4)]1(arg[)arg(yixiz1010yxyx则点Z的轨迹为：（2）)Re(bzaz，其中ba,为实数常数；解：设iyxz则：)Re()(iybxiyax0)()(222bxbxyax则：bxbaxbaabxbay)2)((2)(2222若：ba则轨迹为：0y若：ba则bbax2轨迹：)2)((22baxbay若：ba则,2bax无意义（3）0bzazazz，其中为a复数b为实常数。解：由题设可知：0))((2abazaz即：baaz22若：ba2，则Z的轨迹为一点-a，0iyy02bab复变函数与积分变换习题解答5若：ba2，则Z的轨迹为圆，圆心在-a，半径为ba2若：ba2，无意义2．用复参数方程表示曲线，连接i1与i41直线段。解：10)]1()41[()1(ttiiiz则)0()52()1(ttiiz3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。（1）21Re,1zz解：由1z，得122yx又21Rez，得21x有界，单连域（2）1Re2z解：令iyxz由11Re222yxz即：122xy无界，单连域0y(1,1)(-1,-4)000xy-1100y复变函数与积分变换习题解答6v0（3）211zz解：令iyxz则：222)34()35(yx无界，多连域4．对于函数0Im:,)(zDizzf，描出当z在区域D内变化时，w的变化范围。解：令iyxz则ixyiyxiizzfw)()(,0Imz则0y,0Reyww的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴5.试证zzzRelim0不存在。证：zzzRelim0=iyxxyx00lim令kxy则：上述极限为ki11不确定，因而极限不存在。*6.思考题（1）怎样理解复变函数)(zfw？答：设)(,,zfwiyxzivuw则就是),(),()(yxivyxuiyxfivu即),(),(yxvvyxuu因此，一个复变函数)(zf与两个实变函数),(yxu和),(yxv相对应，从几何意义上来说，复变函数可以看作是z平面上的点集D到w平面上的点集G上的映射。（2）设复变函数)(zf当0zz时的极限存在，此极限值与z趋于0z所采取的方式（取的路径）有无关系？xyu3/5复变函数与积分变换习题解答7答：没有关系，z以任意方式趋于0z时，极限值都是相同的，反过来说，若令z沿两条不同的曲线趋于0z时极限值不相等，则说明)(zf在0z没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，x只能从左、右以任何方式趋于0x，而这里可以从四面八方任意趋于0z。复变函数与积分变换习题解答8练习三1．用导数定义，求zzzfRe)(的导数。解：zzzzzzzzzfzzfzzRe)Re()(lim)()(lim00)(Relim)Re(Relim)ReRe(RelimReReRelim00000yixxzzzzzzzzzzzzzzzzzyxzzz当0z时，导数不存在，当0z时，导数为0。2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）zzf1)(解：),(),(1)(2222yxivyxuyxyiiyxxzzzzf2222222222222222)()(2)(2)(yxyxvyxxyvyxxyuyxxyuyxyx当且仅当yx时，)(zf满足RC条件，故当yx时)(zf可导，但在复平面不解析。（2）)3(3)(3223yyxixyxzf解：令)(),()(xyivyxuzf则2222336633yxvxyuxyvyxuyyxx因)(zf在复平面上处处满足RC条件，且偏导数连续，故)(zf可导且解析。3．设)(2323lxyxiynxmy为解析函数，试确定nml,,的值。解：由RC条件可知：lxynxy22所以ln复变函数与积分变换习题解答9又222233lyxnxmy所以3,3nlm且即31lnm4.设)(zf在区域D内解析，试证明在D内下列条件是彼此等价的。（1）)(zf=常数；（2）0)(zf；（3）)(Rezf常数（2）)(Imzf常数；（5）)(zf解析；（6）)(zf常数。证:由于)(zf在且域D内解析，则可得RC方程成立，即yvxu且xvyu1）→2）由czf)(则0)(czf在D内成立，故（2）显然成立，2）→3）由),(00)(yxuyuxuyuiyvxvixuzf是常数即)(Rezf常数3）→4）u常数0yuxu由RC条件),(00yxvxvyv是常数)(Imzf常数4）→5）若,)(,)(,)(Im1icuzficuzfczf因)(zf在D内解析0,0xcxvyuycyvxu即xcyuycxu)(,)(一阶偏导连续且满足RC条件)(zf在D内解析。5）→6）ivuzfzgivuzf)()(,)(因)(zg解析，则由RC条件xvyuyvxu,，对)(zf在D内解析，复变函数与积分变换习题解答10)(00,zfvxvyuvxvyuxvyuyvxu为常数为常数为常数6）→1）)(zf常数2)(zf=常数，令cvu22分别对yx,求偏导数得0)(0)(002222yuvuxuvuyuuxuvyuvxuu若022vu则0)(,0zfvu，因而得证若022vu，则0yuixu，故u常数，由RC条件vyvxv,0为常数)(zf常数*5.思考题：（1）复变函数)(zf在一点0z可导与在0z解析有什么区别？答：)(zf在0z解析则必在0z可导，反之不对。这是因为)(zf在0z解析，不但要求)(zf在0z可导，而且要求)(zf在0z的某个邻域内可导，因此，)(zf在0z解析比)(zf在0z可导的要求高得多，如2)(zzf在0z=0处可导，但在00z处不解析。（2）函数)(zf在区域D内解析与)(zf在区域D内可导有无区别？答：无，（两者等价）。（3）用RC条件判断),(),()(yxivyxuzf解析时应注意些什么？答：),(),,(yxvyxu是否可微。（4）判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。答：一是定义。二是充要条件。三是可导（解析）函数的和、差、积、商与复合仍可导（解析）函数。复变函数与积分变换习题解答11练习四1．由下列条件求解析函数ivuzf)(：（1）ifyxu)2(,)1(2解：由)(zf解析可知：xyyxvuvu而)1(22xuyuyx则yuvxuvxyyx2),1(2所以)(2),(2xyydydyvyxvy)()1(2xvxxcxdxxx2)1()1(2)(由if)2(可知0c)12()1(2)(22xxyiyxzf（2）.0,xxyarctgv解：因22yxyvx22yxxvy由)(zf解析可知：22yxxvuyx22yxyvuxy)()ln(21),(2222yyxdxyxxdxuyxux2222)(yxyyyxyuycyxyxu)ln(21),(22即xyiarctgcyxzf)ln(21)(222．设yevpxsin，求p的值使v为调和函数，并求出解析函数ivuzf)(。解：要使),(yxv为调和函数，有：0yyxxvvv，即：0sinsin2yeyeppxpx1p时，v为调和函数，要使)(zf解析，则xyyxvuvu,复变函数与积分变换习题解答12)(cos1cos),(yyepydxedyvdxuyxupxpxyxypeyyepupxpxysin)(sin1yeppypxsin)1