信号与系统第三章(陈后金)3

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年系统的时域分析线性非时变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应离散时间LTI系统的响应冲激响应表示的系统特性离散时间LTI系统的响应离散时间系统的零输入响应离散时间系统的零状态响应单位脉冲响应序列卷积和离散时间LTI系统的响应迭代法求系统响应经典时域法求系统响应卷积法求系统响应零输入响应求解零状态响应求解离散时间LTI系统的响应离散时间LTI系统的数学模型为][][00jkxbikyajmjini2.经典时域分析方法3.卷积法系统响应求解方法:1.迭代法离散时间LTI系统的响应已知n个初始状态{y[1],y[2],y[2],∙∙∙∙,y[n]}和输入，由差分方程迭代出系统的输出。][][][01jkxbikyakyjmjini][][00jkxbikyajmjini1.迭代法[例]一阶线性常系数差分方程y[k]0.5y[k1]=u[k],y[1]=1，用迭代法求解差分方程。解：将差分方程写成]1[5.0][][kykuky代入初始状态，可求得5.115.01]1[5.0]0[]0[yuy75.15.15.01]0[5.0]1[]1[yuy875.175.15.01]1[5.0]2[]2[yuy依此类推缺点：很难得到闭合形式的解。离散时间LTI系统的响应差分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh[k]和特解yp[k]组成:][][][phkykyky齐次解yh[k]的形式由齐次方程的特征根确定特解yp[k]的形式由方程右边激励信号的形式确定2.经典时域分析方法[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y[k]5y[k1]+6y[k2]=x[k]初始条件y[0]=0，y[1]=1，输入信号x[k]=2ku[k]，求系统的完全响应y[k]。特征根为齐次解yh[k]解：(1)求齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2]=0的齐次解yh[k]特征方程为0652rr3,221rrkkCCky32][21h解：(2)求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2]=x[k]的特解yp[k]由输入x[k]的形式，设方程的特解为将特解带入原差分方程即可求得常数A=2。0,2][pkAkkyk[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y[k]5y[k1]+6y[k2]=x[k]初始条件y[0]=0，y[1]=1，输入信号x[k]=2ku[k]，求系统的完全响应y[k]。解：(3)求方程的全解，即系统的完全响应y[k]解得C1=1，C2=10,232][][][121phkkCCkykykykkk0]0[21CCy1232]1[21CCy0,232][1kkkykkk[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y[k]5y[k1]+6y[k2]=x[k]初始条件y[0]=0，y[1]=1，输入信号x[k]=2ku[k]，求系统的完全响应y[k]。1)若初始条件不变，输入信号x[k]=sin0ku[k]，则系统的完全响应y[k]=？2)若输入信号不变，初始条件y[0]=1,y[1]=1,则系统的完全响应y[k]=？经典法不足之处若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。离散时间LTI系统的响应3.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次差分方程得到零输入响应利用信号分解和线性非时变特性可求出零状态响应][][][zszikykyky][*][][zikhkxky一、零输入响应定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。0][0ikyaini数学模型:求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始状态确定待定系数。一、零输入响应(1)特征根是不等实根r1,r2,,rn(2)特征根是等实根r1=r2==rn(3)特征根是成对共轭复根knnkkrCrCrCky2211][knnkkrkCkrCrCky121][0j2,1ejbar齐次解的形式kCkCkykk0201sincos][[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y[k]+3y[k1]+2y[k2]=x[k]系统的初始状态为y[1]=0，y[2]=1/2，求系统的零输入响应yzi[k]。解：系统的特征方程为系统的特征根为解得C1=1，C2=20232rr2,121rrkkCCky)2()1(][21zi2141]2[021]1[2121CCyCCy0)2(2)1(][zikkykk[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y[k]+4y[k1]+4y[k2]=x[k]系统的初始状态为y[1]=0，y[2]=1/2，求系统的零输入响应yzi[k]。解：系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）解得C1=4,C2=40442rr221rrkkCkCky)2()2(][21zi022]1[21CCy142]2[21CCy0,)2(4)2(4][zikkkykk[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y[k]0.5y[k1]+y[k2]0.5y[k3]=x[k]系统的初始状态为y[1]=2，y[2]=1，y[3]=8，求系统的零输入响应yzi[k]。解：系统的特征方程为系统的特征根为解得C1=1，C2=0，C5=505.05.023rrrkrr2πj3,21ej,5.0kCkCCkyk2πcos2πsin)21(][321zi22]1[21CCy14]2[31CCy88]3[21CCy0,2πcos5)21(][zikkkyk二、零状态响应求解系统的零状态响应yzs[k]方法：1)直接求解初始状态为零的差分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性非时变系统的特性求解。定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励x[k]产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs[k]表示。卷积法求解系统零状态响应yzs[k]的思路1)将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合2)求出单位脉冲序列作用在系统上的响应——单位脉冲响应3)利用线性非时变系统的特性，即可求出任意序列x[k]激励下系统的零状态响应yzs[k]。卷积法求解系统零状态响应yzs[k]推导由非时变特性由均匀特性由叠加特性][][khk][][nkhnk][][][][nkhnxnknx][][]}[][{nkhnxnknxTnn][*][][][][zskhkxnkhnxkyn[例]若描述某离散系统的差分方程为:][]2[2]1[3][kxkykyky已知,][)21(3][kukxk][])2(2)1([][kukhkk求系统的零状态响应yzs[k]。解：][][][zsnkhnxkynnnknknnkunu][])2(2)1([][)21(3000,)41()2(6)21()1(300kkknnknknk][])21(51)2(524)1(2[kukkk三、单位脉冲响应定义单位脉冲序列[k]作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应,用符号h[k]表示。][][00jkbikhajmjini对N阶LTI离散时间系统，h[k]满足方程三、单位脉冲响应求解方法:2)等效初始条件法将[kj]对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。等效初始条件由差分方程和h[1]=h[2]==h[n]=0递推求出。1)迭代法例1描述某离散因果LTI系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应h[k]。][]2[2]1[3][kxkykyky解：h[k]满足方程][]2[2]1[3][kkhkhkh1)求等效初始条件对于因果系统有h[1]=h[2]=0，代入上面方程可推出1]2[2]1[3]0[]0[hhh3]1[2]0[3]1[]1[hhh注意：选择初始条件的基本原则是必须将[k]的作用体现在初始条件中二阶系统需要两个初始条件，可以选择h[0]和h[1]解：h[k]满足方程][]2[2]1[3][kkhkhkh2)求差分方程的齐次解特征方程为特征根为齐次解的表达式为0232rr2,121rr0,)2()1(][21kCCkhkk代入初始条件，有32]1[1]0[2121CChCCh解得C1=1，C2=2][])2(2)1([][kukhkk例1描述某离散因果LTI系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应h[k]。][]2[2]1[3][kxkykyky