解三角形基础题

13.2解三角形基础题高考命题规律1.与解三角形的解答题相互补充,按年份交替出现.2.小题以填空题或选择题形式出现,5分,中高档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表:2019年高考必备2014年2015年2016年2017年2018年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形415911161516711命题角度2与三角形有关的最值和范围、实际应用题16命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·7)在△ABC中,cos√,BC=1,AC=5,则AB=()A.4√B.√C.√D.2√答案A解析∵cosC=2cos2-1=-,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×=32.∴AB=4√.2.(2018全国Ⅲ·11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为-,则C=()A.B.C.D.答案C解析由S=-absinC,得c2=a2+b2-2absinC.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,∴sinC=cosC,即C=.23.(2017全国Ⅰ·11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=√,则C=()A.B.C.D.答案B解析由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,则sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理,得√,即sinC=,所以C=,故选B.4.(2016全国Ⅰ·4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√,c=2,cosA=,则b=()A.√B.√C.2D.3答案D解析由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故选D.5.(2016全国Ⅲ·9)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=()A.B.√C.√D.√答案D解析(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得,S△ABC=a·a=acsinB,c=√a.由正弦定理,得sinC=√sinA.∵C=-A,∴sinC=sin(-)√sinA,即√cosA+√sinA=√sinA,整理得sinA=-3cosA.∵sin2A+cos2A=1,∴sin2A+sin2A=1,即sin2A=,解得sinA=±√(排除负值).故选D.(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=a·acsinB,∴c=√a.3∴b2=a2+(√)-2a·√√,即b=√.由正弦定理得,sinA=√√√.故选D.6.(2018全国Ⅰ·16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.答案√解析由正弦定理及条件,得bc+cb=4absinC,所以=2a,设△ABC的外接圆半径为R,则=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cosA0,0A,因为=2R,所以sinA=,A=30°,所以cosA=-√,所以bc=√,所以S△ABC=bcsinA=√.7.(2017全国Ⅲ·15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√,c=3,则A=.答案75°解析由正弦定理得,即sinB=√√√.因为bc,所以BC,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.8.(2017全国Ⅱ·16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.答案解析由题意和正弦定理,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即cosB=.又因为B∈(0,π),所以B=.9.(2016全国Ⅱ·15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.答案解析因为cosA=,cosC=,且A,C为△ABC的内角,所以sinA=,sinC=,4sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.又因为,所以b=.新题演练提能·刷高分1.(2018西南名校联盟适应性考试)在△ABC中,若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案A解析由已知可得√=1,∴sin2C=sin2A+sin2B,∴c2=a2+b2,故三角形为直角三角形.选A.2.(2018广东茂名联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosC+c=2a,且b=√,c=3,则a=()A.1B.√C.2√D.4答案D解析已知2bcosC+c=2a,由正弦定理可得2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,∴sinC=2cosBsinC,∵sinC≠0,∴cosB=.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,又知b=√,c=3,解得a=4.故选D.3.(2018湖南益阳4月调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,C=60°,且△ABC的面积为5√,则△ABC的周长为()A.8+√B.9+√C.10+√D.14答案B解析由题意,根据三角形面积公式,得absinC=5√,即a·5·√=5√,解得a=4.根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即c2=16+25-2×4×5×,c=√,所以△ABC的周长为9+√.故选B.4.(2018河南郑州第二次质量预测)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2cos2-cos2C=1,4sinB=3sinA,a-b=1,则c的值为()A.√B.√C.√D.65答案A解析∵2cos2=2cos2-=2cos2=2sin2=1-cosC,∴1-cosC-cos2C=1.∴cos2C=-cosC.∴2cos2C+cosC-1=0,解得cosC=.因为{-故得到{根据余弦定理得到-,解得c=√.5.(2018广东佛山质量检测一)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,B=,cosA=,则△ABC的面积S=()A.√B.10C.10√D.20√答案C解析因为cosA=,所以sinA=√,由正弦定理得到,解得b=7,由正弦定理得到sinC=sin(A+B)=√,△ABC的面积S=×5×7×√=10√.6.(2018山西晋城一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csinB+=√a,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=20,c=7,则△ABC的内切圆的半径为()A.√B.1C.3D.√答案D解析由csinB+=√a及正弦定理得2sinCsinB+√cosB=√sinA,整理得sinBsinC+√cosBsinC=√sinA.∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinBsinC+√cosBsinC=√sinBcosC+√cosBsinC,∴sinBsinC=√sinBcosC,又sinB≠0,∴sinC=√cosC,故tanC=√,C=.∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=abcosC=20,∴ab=40.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即49=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-120,解得a+b=13.∴a+b+c=20.设△ABC的内切圆半径为r,∵S△ABC=absinC=(a+b+c)r,6∴r=√.选D.7.(2018江西重点中学盟校第一次联考)如图,平面四边形ABCD中,AC与BD交于点P,若3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3⃗⃗⃗⃗⃗,AB=AD=√BC,∠CAD+∠ACB=π,则=()A.√B.√C.√D.√答案A解析设BC=1,则AB=AD=√,延长BC到E,使BE=3BC,所以CE=2,依题意3⃗⃗⃗⃗⃗=2⃗⃗⃗⃗⃗+(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以AC∥DE,所以,由正弦定理得{两式相除得√,所以2sin-α=√sinα,所以α=,β=.在△ABC中,由余弦定理得3=1+AC2-2ACcos,AC=2,在Rt△ACD中CD=√√,故√√√,选A.8.(2018东北三省三校一模)在△ABC中,AB=2,AC=√,∠ABC=,则BC=.答案1解析由题意,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB,即BC2+2BC-3=0,解得BC=1,或BC=-3(舍去负值).9.(2018北京海淀期末)在△ABC中,a=1,b=√,且△ABC的面积为√,则c=.7答案2或2√解析S△ABC=absinC=×1×√×sinC=√,则sinC=√,cosC=±√,当cosC=√时,c2=1+7-2×1×√√=4,c=2;当cosC=-√时,c2=1+7+2×1×√√=12,c=2√.10.(2018河北衡水中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.答案4062.5解析由题意画出图象,如图所示,且AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米.在△ABC中,由余弦定理有cosB=--,B为锐角,sinB=√-.设△ABC外接圆半径为R,则由正弦定理有=2R,R==4062.5(米).命题角度2与三角形有关的最值和范围、实际应用题高考真题体验·对方向(2014全国Ⅰ·16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.答案1508解析在Rt△ABC中,由于∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100√m.在△MAC中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得,于是MA=√√√=100√(m).在Rt△MNA中,∠MAN=60°,于是MN=MA·sin∠MAN=100√√=150(m),即山高MN=150(m).新题演练提能·刷高分1.(2018湖北重点高中协作体联考)某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站北偏东30°,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A,B间的距离为()A.500米B.600米C.700米D.800米答案C解析由题意,△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可得:AB2=3002+5002-2×300×500×cos120°,∴AB=700(米).2.(2018吉林长春质量监测三)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,b=2,则△ABC面积的最大值是()A.1B.√C.2D.4答案B解析∵2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,∴2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,∴cosB=.∴B=60°,由余弦定理,得ac=a2+c2-4,故ac=a2+c2-4≥2ac-4,有ac≤4,故S△ABC=acsinB≤√.3.(2018陕西咸阳一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2√,则△ABC面积的最大值为