623个重要分布和抽样定理

定义6.2.1：统计量的分布称为抽样分布1.χ2—分布2.t－分布3.F-分布3个重要分布6.2.1.1分布2卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布定义6.2.2：设X1,X2,…,Xn相互独立，且都服从N(0,1)分布，则称随机变量222212nXXX服从自由度为n的²分布，记)(~22n独立的随机变量的个数n:.²分布的定义自由度0.0,,,e)()(-2nxxxnxfxn0221212²n分布的概率密度函数是其中Gammadxexx01)(²n分布密度曲线不同自由度下的2n分布随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.xf(x)n=1n=4n=105101520250.10.20.30.4n=2n=3n=5n=10n=15²(n)分布密度图形²n分布特征1.卡方分布于区间[0，+)，并且呈反J形的偏斜分布。2.卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大，当自由度等于1时，曲线以纵轴为渐近线。3.随自由度的增大，卡方分布曲线渐趋左右对称，当n30时，卡方分布已接近正态分布。χ2n分布的性质性质1.性质2.有独立并且若,,),(n~),(n~212221222221则有若(n),~22.)D(,)E(22~2221)n(n212n2n设X服从N(0,1)设f(x)是N(0,1)的密度函数dxxfxXE44则dxxxfx3xfdx333xdxfxfxdxxfx23dxxxfx3xfdx3dxxfxfx3333dxxf20132242XEXEXD.)()(,10,22分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的正数nn)}({nP22定义6.2.3χ2分布的分位点)(2)(nyyfdxf(x))(2nxf(x))(2n)(222d)()}({nyyfnP)(nXP2-1α)(21n2分布的双侧分位数示意图举例2分布表的使用n0.9950.9750.200.100.050.0250.020.010.0050.0020.00110.0000390.0009821.6422.7063.8415.0245.4126.6357.8799.55010.82820.01000.05063.2194.6055.9917.3787.8249.21010.59712.42913.81630.07170.2164.6426.2517.8159.3489.83711.34512.83814.79616.26640.2070.4845.9897.7799.48811.14311.66813.27714.86016.92418.46750.4120.8317.2899.23611.07012.83313.38815.08616.75018.90720.51560.6761.2378.55810.64512.59214.44915.03316.81218.54820.79122.45870.9891.6909.80312.01714.06716.01316.62218.47520.27822.60124.32281.3442.18011.03013.36215.50717.53518.16820.09021.95524.35226.12491.7352.70012.24214.68416.91919.02319.67921.66623.58926.05627.877102.1563.24713.44215.98718.30720.48321.16123.20925.18827.72229.588)5(005.02)5(995.0216.7516.750.4120.412讲讲练练）的样本，（是来自总体，，，设10521NXXXX~254223211)()(XXkXXXkY设试确定k1,k2，使得Y服从2分布。~321XXX解：),(30N),(10N~)(3321XXX即~54XX),(20N~)(254XX即),(10N212k比较：311k比较：4321XXXX,,,),(40N243221432)()(XXbXXaXabX2设为正态总体的一个简单随机样本，，则当?,?,时,统计量服从分布，其自由度为.),(),(20042402NN432140,,,),(~XiNi，),(~1020221NXX),(),(10004443022NN),(~101004343NXX比较得：a=1/20,b=1/100,)(~)()(24322243221XXbXXaXn=2~212XX~4343XX例6.2.1的样本，是来自总体设)N(0.0.3~X,,X21021XX}..{P4411012iiX求~.)..(~303002iiXNX101230ii~.X),(10N)(102..}.{P104411012iiX查表得：,)(16102}.{P4411012iiX10121630iiXP}.{101223044130iiXP}...{101221030ii)(~.X10.分布；服从分布；服从分布；服从分布；服从2222222222213121213231)()(YXDYXCYXBYXA),(~30NYX),(~103NYX)(~)(13122YX设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,2),且X与Y相互独立，则（)C分布t2126...t分布是由英国的威廉•西利•戈塞特（WilliamGosset）于1908年引进的，他在论文中用的笔名是student,所以人们又称t分布为学生氏分布t分布是由标准正态分布与卡方分布所构造成的新分布定义6.2.4t—分布的定义：记为分布的服从自由度为则称随机变量,tn).(~ntt.,相互独立且设YXnYXt/),(~),,(~nYNX210自由度为n的t分布概率密度xnxnnnxfn2121221)(函数是其中Gammadxexx01)(不同自由度下的t分布密度曲线0t分布密度曲线特点1.t-分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t＝0时，分布密度函数取得最大值。2.与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。n越小这种趋势越明显。n越大，t分布越趋近于标准正态分布。当n30时，t-分布与标准正态分布的区别很小；n100时，t-分布基本与标准正态分布相同；n→∞时，t-分布与标准正态分布完全一致。.)()(,10,分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的ntnt定义6.2.5t—分布的分位点：)}({nttP)(d)(ntttff(x)x•tαt分布双侧分位点示意图t1t)}({nttP)}({nttP10.6870–0.6870t分布的分位点的性质).()(-1ntntn12345678910=0.25=0.25=0.15=0.10=0.05=0.025=0.01=0.005=0.0025=0.001=0.00051.0001.3761.9633.0786.31412.7131.8263.66127.3318.3636.60.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.0922.3331.600.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.2112.920.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.6100.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.8690.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.9590.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.4080.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.0410.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.7810.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587t分布表的使用只能查=0.25，0.1,0.05,0.025,0.01,0.005)6()6(85.015.0tt1.1341.134-1.13401525050.)(.t)(.5950t已知,则).()(-1ntnt-2.015t1tadxxfaF01adxxfaF02112aFaFaFaFA.B.C.D.XtxFxf有则对任意实数,a设随机变量服从分布,为其分布函数，为其密度函数，()。a-axf正态分布的上分位点zz1性质：为标准正态分布的则称点满足条件若,,10Z定义2.3.5zz分位点上(x)xzα1z),,(~10NX设}{zXPZ0.0010.0050.010.0250.050.11.6452.3272.5761.96常用标准正态分布的分位点3.0901.282z}{zXP1}{zXP1)(z讲讲练练2524321)(XXXXXcX设服从t—分布，求参数c.）的样本，（是来自总体，，，设10521NXXXX~~)()(232524321XXXXX~321XXX解：~2524XX)1,0(N22)2(t32cnYNnYXt210~),(~X/~3)(321XXX)3,0(N设X1,X2,X3,X4相互独立，且均服从N(0,1)是,其自由度为.242321XXXXY则函数所服从的分布),(~2021NXX解：)(~222423XX)(~222242321tXXXX)2(t2),(~10221NXX.~Y的分布确定两个独立样本，）的，（是来自同一个总体，，，和，，，设：例903921921NXYYXXX91291iiiiYXZ92190,,,),(~iNXi解：),(~109921NXXX),(~990921NXXX),(~103NYi)(~93332292221YYY)1,0(~9921NXXX)(~9939129191tYXZiiii)(~9tZ91291iiiiYXZ)9,0(~NYi分布F3126...由两个²分布所构成的新的分布F分布是以统计学家费希尔(R.A.Fisher)姓氏的第一个字母命名的.用于方差分析、协方差分析和回归分析等。21//nVnUFF—分布的定义:称n1为第一自由度,n2为第二自由度记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设,),(,,FnnVU21)