2017-2018学年山东省济南市历城区八年级(下)期中数学试卷-(Word解析版)

第1页，共14页2017-2018学年山东省济南市历城区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.2.若𝑚𝑛，下列不等式不一定成立的是(  )A.𝑚+2𝑛+2B.2𝑚2𝑛C.𝑚2𝑛2D.𝑚2𝑛23.如果把分式𝑥𝑦𝑥+𝑦中的x和y都扩大3倍，那么原分式的值是(  )A.不变B.缩小3倍C.扩大3倍D.缩小6倍4.不等式组{−2𝑥+13𝑥≤1的解集在数轴上表示正确的是(  )A.B.C.D.5.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(  )A.𝑎2+4B.−𝑥2+9C.−𝑥2−𝑦2D.5𝑚2−10𝑚𝑛6.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=60∘，将△𝐴𝐵𝐶绕着点A顺时针旋转40∘后得到△𝐴𝐷𝐸，则∠𝐵𝐴𝐸=(  )A.80∘B.90∘C.100∘D.110∘7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵交BC于𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于E，若𝐴𝐵=6𝑐𝑚，则△𝐷𝐵𝐸的周长是(  )A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm8.已知𝑥2−2𝑥−3=0，则2𝑥2−4𝑥的值为(  )A.−6B.6C.−2或6D.−2或309.若关于x的一元一次不等式组{2𝑥−13(𝑥−2)𝑥𝑚的解集是𝑥5，则m的取值范围是(  )A.𝑚≥5B.𝑚5C.𝑚≤5D.𝑚5第2页，共14页10.一次智力测验，有20道选择题.评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分.小明有两道题未答.至少答对几道题，总分才不会低于60分.则小明至少答对的题数是(  )A.11道B.12道C.13道D.14道11.如图，在平面直角坐标系中，点𝐴，𝐵的坐标分别为(0，4)和(1，3)△𝑂𝐴𝐵沿x轴向右平移后得到△𝑂′𝐴′𝐵′，点A的对应点𝐴′在直线𝑦=45𝑥上，则点B与𝑂′间的距离为(  )A.3B.4C.5D.√3412.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐶=𝐵𝐶=4，𝐷为BC的中点，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为𝐸.过点B作𝐵𝐹//𝐴𝐶交DE的延长线于点F，连接𝐶𝐹，𝐴𝐹.现有如下结论：①𝐵𝐹=2；②𝐴𝐷⊥𝐶𝐹；③𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵；④𝐴𝐹=2√5；⑤∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐹𝐵.其中正确的结论是(  )A.①②③B.①②④C.②③④⑤D.①②④⑤二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.分解因式：𝑥2−9=______．14.若分式2𝑥−1有意义，则x的取值范围是______．15.知𝑥𝑦=32，则𝑥−𝑦𝑥+𝑦=______．16.如图，函数𝑦=2𝑥和𝑦=𝑎𝑥+4的图象相交于点𝐴(1，𝑚)，则不等式2𝑥𝑎𝑥+4的解集为______．17.如图，等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐶=65∘，𝐴𝐵的垂直平分线MN交AC于点D，则∠𝐷𝐵𝐶的度数是______．18.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，则𝑆1+𝑆2+𝑆3+第3页，共14页𝑆4=______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来．(1)4𝑥+5≤2(𝑥+1)(2){𝑥+43(𝑥+2)2𝑥−1≤12(𝑥+4)20.(1)如图1，𝑂是等边△𝐴𝐵𝐶内一点，连接OA、OB、OC，且𝑂𝐴=3，𝑂𝐵=4，𝑂𝐶=5，将△𝐵𝐴𝑂绕点B顺时针旋转后得到△𝐵𝐶𝐷，连接𝑂𝐷.求：①旋转角是______度；②线段OD的长为______；③求∠𝐵𝐷𝐶的度数．(2)如图2所示，O是等腰直角△𝐴𝐵𝐶(∠𝐴𝐵𝐶=90∘)内一点，连接OA、OB、𝑂𝐶，∠𝐴0𝐵=135︒，𝑂𝐴=1，0𝐵=2，求OC的长．小明同学借用了图1的方法，将△𝐵𝐴𝑂绕点B顺时针旋转后得到△𝐵𝐶𝐷，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．第4页，共14页21.因式分解：(1)2𝑎3−8𝑎(2)3𝑥2𝑦−18𝑥𝑦2+27𝑦322.计算：(1)化简：𝑥2𝑥−1+11−𝑥(2)解分式方程：1𝑥−2+2=𝑥−1𝑥−2(3)先化简：(𝑥2+12𝑥−1)÷𝑥2−18𝑥，并从−1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．23.如图，已知：AD平分∠𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐷//𝐵𝐶．(1)求证：△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．(2)当∠𝐶𝐴𝐸等于多少度时△𝐴𝐵𝐶是等边三角形？证明你的结论．24.某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．第5页，共14页25.某公司保安部去商店购买同一品牌的应急灯和手电筒，查看定价后发现，购买一个应急灯和5个手电筒共需50元，购买3个应急灯和2个手电筒共需85元．(1)求出该品牌应急灯、手电筒的定价分别是多少元？(2)经商谈，商店给予该公司购买一个该品牌应急灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果该公司需要手电筒的个数是应急灯个数的2倍还多8个，且该公司购买应急灯和手电筒的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少个该品牌应急灯？26.如图1，△𝐴𝐵𝐶是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且𝑂𝐴=6𝑐𝑚，点D从O点出发，沿OM的方向以1𝑐𝑚/𝑠的速度运动，当D不与点A重合时，将△𝐴𝐶𝐷绕点C逆时针方向旋转60∘得到△𝐵𝐶𝐸，连结DE．(1)求证：△𝐶𝐷𝐸是等边三角形；(2)如图2，当6𝑡10时，△𝐵𝐷𝐸的周长是否存在最小值？若存在，求出△𝐵𝐷𝐸的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．第6页，共14页答案和解析【答案】1.D2.D3.C4.B5.B6.C7.A8.B9.A10.D11.C12.D13.(𝑥+3)(𝑥−3)14.𝑥≠115.1516.𝑥117.15∘18.419.解：(1)4𝑥+5≤2𝑥+2，4𝑥−2𝑥≤2−5，2𝑥≤−3，𝑥≤−1.5，将解集表示在数轴上如下：(2)解不等式𝑥+43(𝑥+2)，得：𝑥−1，解不等式2𝑥−1≤12(𝑥+4)，得：𝑥≤2，则不等式组的解集为−1𝑥≤2，将解集表示在数轴上如下：20.60；421.解：(1)原式=2𝑎(𝑎2−4)=2𝑎(𝑎+2)(𝑎−2)；(2)原式=3𝑦(𝑥2−6𝑥𝑦+9𝑦2)=3𝑦(𝑥−3𝑦)2．22.解：(1)𝑥2𝑥−1+11−𝑥=𝑥2−1𝑥−1=(𝑥+1)(𝑥−1)𝑥−1=𝑥+1；(2)1𝑥−2+2=𝑥−1𝑥−2方程两边同乘以𝑥−2，得1+2(𝑥−2)=𝑥−1去括号，得1+2𝑥−4=𝑥−1移项及合并同类项，得𝑥=2，第7页，共14页检验：当𝑥=2时，𝑥−2=0，故原分式方程无解；(3)(𝑥2+12𝑥−1)÷𝑥2−18𝑥=𝑥2+1−2𝑥2𝑥⋅8𝑥(𝑥+1)(𝑥−1)=(𝑥−1)22𝑥⋅8𝑥(𝑥+1)(𝑥−1)=4(𝑥−1)𝑥+1，当𝑥=2时，原式=4×(2−1)2+1=43．23.(1)证明：∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐸，∴∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐵，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶，∴∠𝐵=∠𝐶，∴𝐴𝐵=𝐴𝐶．故△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形．(2)解：当∠𝐶𝐴𝐸=120∘时△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．∵∠𝐶𝐴𝐸=120∘，𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐸，∴∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=60∘，∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，∴∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐵=60∘，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶=60∘，∴∠𝐵=∠𝐶=60∘，∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形．24.解：设汽车原来的平均速度是x𝑘𝑚/ℎ，根据题意得：420𝑥−420(1+50%)𝑥=2，解得：𝑥=70经检验：𝑥=70是原方程的解．答：汽车原来的平均速度70𝑘𝑚/ℎ．25.解：(1)设购买该品牌手电筒的定价是x元，购买台灯的定价是y元．根据题意得{𝑥+5𝑦=503𝑥+2𝑦=85，解得{𝑥=25𝑦=5．答：购买该品牌手电筒的定价是5元，购买台灯的定价是25元；(2)设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是(2𝑎+8)，由题意得25𝑎+5(2𝑎+8−𝑎)≤670，解得𝑎≤21．答：该公司最多可购买21个该品牌的台灯．26.解：(1)证明：∵将△𝐴𝐶𝐷绕点C逆时针方向旋转60∘得到△𝐵𝐶𝐸，∴∠𝐷𝐶𝐸=60∘，𝐷𝐶=𝐸𝐶，∴△𝐶𝐷𝐸是等边三角形；(2)存在，当6𝑡10时，由旋转的性质得，𝐵𝐸=𝐴𝐷，第8页，共14页∴𝐶△𝐷𝐵𝐸=𝐵𝐸+𝐷𝐵+𝐷𝐸=𝐴𝐵+𝐷𝐸=4+𝐷𝐸，由(1)知，△𝐶𝐷𝐸是等边三角形，∴𝐷𝐸=𝐶𝐷，∴𝐶△𝐷𝐵𝐸=𝐶𝐷+4，由垂线段最短可知，当𝐶𝐷⊥𝐴𝐵时，△𝐵𝐷𝐸的周长最小，此时，𝐶𝐷=2√3𝑐𝑚，∴△𝐵𝐷𝐸的最小周长=𝐶𝐷+4=2√3+4；(3)存在，①∵当点D与点B重合时，𝐷，𝐵，𝐸不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤𝑡6时，由旋转可知，∠𝐴𝐵𝐸=60∘，∠𝐵𝐷𝐸60∘，∴∠𝐵𝐸𝐷=90∘，由(1)可知，△𝐶𝐷𝐸是等边三角形，∴∠𝐷𝐸𝐶=60∘，∴∠𝐶𝐸𝐵=30∘，∵∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐶𝐷𝐴，∴∠𝐶𝐷𝐴=30∘，∵∠𝐶𝐴𝐵=60∘，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=30∘，∴𝐷𝐴=𝐶𝐴=4，∴𝑂𝐷=𝑂𝐴−𝐷𝐴=6−4=2，∴𝑡=2÷1=2𝑠；③当6𝑡10𝑠时，如图，由(1)知，△𝐷𝐶𝐸是等边三角形，∴𝐶𝐸=𝐶𝐷，由旋转知，∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，∴𝐵𝐸=𝐴𝐷，∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐶𝐴𝐷=60∘，∴∠𝐷𝐵𝐸=60∘，∵△𝐵𝐷𝐸是直角三角形，∴只有∠𝐵𝐷𝐸=90∘，∴∠𝐵𝐸𝐷=30∘，∴∠𝐵𝐸𝐶=30∘，∴∠𝐵𝐶𝐸=90∘，∴𝐵𝐸=2𝐵𝐶=8，∴𝐴𝐷=8，∴𝑡=8÷1=8秒；④当𝑡10𝑠时，由旋转的性质可知，∠𝐷𝐵𝐸=60∘，又由(1)知∠𝐶𝐷𝐸=60∘，∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐵𝐷𝐶=60∘+∠𝐵𝐷𝐶，而∠𝐵𝐷𝐶0∘，∴∠𝐵𝐷𝐸60∘，∴只能∠𝐵𝐷𝐸=90∘，从而∠𝐵𝐶𝐷=30∘，∴𝐵𝐷=𝐵𝐶=4，∴𝑂𝐷=14𝑐𝑚，第9页，共14页∴𝑡=14÷1=14𝑠，综上所述：当𝑡=2或8或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】1.解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，故选：D．根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点