信号与系统第四章(陈后金)4

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析信号的时域抽样和频域抽样连续非周期信号的频域分析连续时间信号的傅氏变换及其频谱常见连续时间信号的频谱连续时间傅氏变换的性质三、傅里叶变换的基本性质1.线性特性2.共轭对称特性3.对称互易特性4.展缩特性5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性11.频域微分特性12.能量定理1.线性特性，；若)j()()j()(2211XtxXtxFF)j()j()()(2121bXaXtbxtaxF则其中a和b均为常数。2.共轭对称特性)j()(XtxF若)j(*)(*XtxF则当x(t)为实函数时，有|X(j)|=|X(j)|，()=())j(*)(*XtxF)(je)j()j(XX=)j(j)j(IRXX=)j()j(),j()j(IIRR==XXXXX(j)为复数，可以表示为2.共轭对称特性)j()(XtxF若)j(*)(*XtxF则当x(t)为实偶函数时，有X(j)=X*(j)，X(j)是的实偶函数)j(*)(*XtxF当x(t)为实奇函数时，有X(j)=X*(j)，X(j)是的虚奇函数3.时移特性)j()(XtxF若0j0e)j()(tFXttx则式中t0为任意实数证明：tttxttxFtde)()]([j00=令x=tt0，则dx=dt，代入上式可得de)()]([)(j00=txttxF0je)j(tX=信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。例1试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频谱函数X1(j)。0A2t2)(tx0At)(1txT解：无延时且宽度为的矩形脉冲信号x(t)如图，)2(Sa)j(=AXTXXj1e)j()j(=)()(1Ttxtx=TAje)2(Sa=因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4.展缩特性证明:)j()(XtxF若)j(1)(aXaatxF则tatxatxFtde)()]([j=)j(1de)(1)]([jaXaxaatxFa==令=at，则d=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。4.展缩特性)j()(XtxF若)j(1)(aXaatxF则X(j)x(t)x(t)X(j)tt0.50.511尺度变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzx(t)x(t/2)x(2t)5.互易对称特性)(tx220At)(x220A)j()(XtxF若)(π2)j(xtXF则Aπ2π4π2π4X(j)Atπ2π4π2π4X(jt)/26.频移特性（调制定理）若则)j()(XtxF)](j[e)(0j0XtxFtttxtxFtttdee)(]e)([jjj00=式中0为任意实数证明：由傅里叶变换定义有ttxtde)()j(0=)](j[0=X6.频移特性（调制定理）]cos)([0ttxF]e)([21]e)([2100jjtttxFtxF=信号x(t)与余弦信号cos0t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。]sin)([0ttxF)](j[21)](j[2100=XX)](j[2j)](j[2j00=XX同理]e)([j21]e)([j2100jjtttxFtxF=例2试求矩形脉冲信号x(t)与余弦信号cos0t相乘后信号的频谱函数。)2(Sa)j(=AX]cos)([0ttxF)](j[21)](j[2100=XX应用频移特性可得解:已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为}2(Sa2(Sa{2)0)0=A例2试求矩形脉冲信号x(t)与余弦信号cos0t相乘后信号的频谱函数。解:0)j(XA000)]cos()([0ttxFA/20A2/t2/)(tx2/At2/ttx0cos)(7.时域积分特性)j()(XtxF若)()0(π)j(j1d)(XXxFt则例3试利用积分特性求图示信号x(t)的频谱函数。解：tx(t)110t110y(t)=p(t0.5)ttyttptxtt)d(d)5.0()(==利用时域积分特性，可得)()0(π)j(j1)j(YYX=5.0je)5.0(Sa)j()5.0(=YtpF)(πe)5.0(Saj15.0j=由于例4试利用积分特性求图示信号x(t)的频谱函数。解：tx(t)1210tx1(t)110tx2(t)110将x(t)表示为x1(t)+x2(t)即ttptxtd)5.0(1)(=)(π3e)5.0(Saj1)j(5.0j=X8.时域微分特性若则)j()(XtxF)j()j(d)(dXttxF)j()j(d)(dXttxnFnn例5试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。解：)2()2()('=tAtAtx2j2jee)]('[=AAtxF)j()j()]('[XtxF=)2(Sa)2sin(2)j(AAX==由上式利用时域微分特性，得)2sin(j2=A因此有)2sin(j2=A0(A)2/t2/)('tx(A))(tx220At例6试利用微分特性求图示信号x(t)的频谱函数。解：tx(t)1210t110x'(t))5.0()('=tptx5.0je)5.0(Saj1F5.0je)5.0(Saj1)j(=X利用时域微分特性，可得)(π3e)5.0(Saj15.0j信号的时域微分，使信号中的直流分量丢失。8.时域微分特性—修正的时域微分特性)j()(XtxF若记x'(t)=x1(t))j()(11XtxF则j)j()()]()([π)j(1XxxX=例6试利用修正的微分特性求图示信号x(t)的频谱函数。tx(t)1210t110x'(t)解：)()5.0()('1txtptx==2j1e)2(Saj1)j(=XF利用修正的微分特性，可得2je)2(Saj1)(π3=j)j()()]()([π)j(1XxxX=与例4结果一致！9.频域微分特性若)j()(XtxFnnnFnXtxtd)j(dj)(ttxXtde)()j(j=ttxttxXttde)]()j[(dedd)(d)j(djj==ttxtXtde)]([d)j(djj=将上式两边同乘以j得证明：d)j(dj)(XtxtF则例8试求单位斜坡信号tu(t)的频谱。j1)(π)]([=tuF]j1)(π[ddj)]([=ttuF解：已知单位阶跃信号傅里叶变换为:故利用频域微分特性可得:21)(π=10.时域卷积特性)j()()j()(2211XtxXtxFF若)j()j()()(2121XXtxtxF则=ttxxtxtxFtde]d)()([)]()([j2121=d]de)()[(j21ttxxt)j()j(21XX=证明：=de)j()(j21Xx例9求如图所示信号的频谱。解：)(*)()(22tptptx=)(Sa4)j(2=X)(2Sa)(2tp)j()j()()(2121XXtxtxF由x(t)t2220例10计算其频谱Y(j)。解：)2(,dee)()(522=ttyttdee)()(522=ttty)(e*)2(e52tututt=利用Fourier变换的卷积特性可得)](e[)]2(e[)j(52tuFtuFYtt=10j7)(je5j12jee242j2j4==11.频域卷积特性（调制特性）证明：)j()()j()(2211XtxXtxFF若)]j()j([π21)()(2121XXtxtxF则ttxtxtxtxFωtde)]()([)]()([j2121==tXtxΩtωtd]de)j(π21[e)(j1j2=]de)([d)j(π21)j(21ttxXt=]d)](j[)j(π2121XX)]j()j([π2121XX=12.非周期信号的能量谱密度=ttxWd|)(|2=d|)j(|π212X=d)j()j(π21*XX=tXtxtd]de)j(π21)[(j*=d]de)()[j(π21j*ttxXt12.非周期信号的能量谱密度上式表明信号的能量也可以由|X(j)|2在整个频率范围的积分乘以1/2来计算。物理意义：非周期能量信号的归一化能量在时域中与在频域中相等，保持能量守恒。=d|)j(|π21d)(22Xttx帕什瓦尔能量守恒定理：12.非周期信号的能量谱密度=d|)j(|π21d)(22Xttx帕什瓦尔能量守恒定理：2|)j(|π21)(XG=定义单位角频率的信号能量为能量频谱密度函数，简称能量频。例11计算。解：tttd)sin(2由)(π}sin{2pttF=根据Parseval能量守恒定律，可得tttd)sin(2=d|)(π|π2122pπdππ21112==傅里叶变换性质一览表1.线性特性2.对称互易特性3.展缩特性4.时移特性5.频移特性6.时域卷积特性7.频域卷积特性8.时域微分特性9.积分特性10.频域微分特性)(π2)j(xtXF)j(1)(aXaatxF0j0e)j()(tFXttx)](j[e)(0j0XtxFt)j()j()()(2121XXtxtxF)]j()j([π21)()(2121XXtxtxF)j()j(d)(dXttxnFnn)()0(π)j(j1d)(XXxFtnnnFnXtxtd)j(dj)()j()j()()(2121bXaXtbxtaxF重要概念：非周期信号的频谱1)非周期信号的频谱与周期信号的频谱的区别2)非周期信号频谱的物理意义3)非周期信号频谱的分析方法：应用常用基本信号的频谱与傅里叶变换的性质分析问题使用的数学工具：傅里