【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件：7.5 圆及直线与圆的位置关系

§7.5圆及直线与圆的位置关系本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．圆的定义及方程定义平面内与______的距离等于______的点的集合(轨迹)限定条件标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆心：________，半径：rr0一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆心：__________，半径：__________________D2＋E2－4F0参数方程x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ圆心：______，半径：_____定点定长(a，b)(－D2，－E2)12D2＋E2－4F(a，b)r目录2．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ____0Δ____0Δ____0几何观点d_____rd____rd___r＝＝目录3.圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d_______d＝_____|r1－r2|dr1＋r2d＝________d_____r1＋r2r1＋r2|r1－r2||r1－r2|目录思考探究1．确定一个圆的方程需要几个独立条件？提示：针对圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，只要确定a，b，r就可．对圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,需要确定D、E、F三个系数就可．故确定一个圆的方程,需要三个独立条件．2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示：A＝C≠0B＝0D2＋E2－4F0.目录课前热身1．(教材改编)设圆的方程x2＋y2＝4，过圆上点M(－2，－2)的切线方程为()A．y＝xB．x＋y＋2＝0C．x＋y＋22＝0D．x＋y＋2＝0答案：C目录2．曲线C：x＝cosθ－1y＝sinθ＋1(θ为参数)的普通方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝1答案：C目录解析：选C.∵x2＋y2＝2的圆心(0,0)到直线y＝kx＋1的距离d＝|0－0＋1|1＋k2＝11＋k2≤1，又∵r＝2，∴0＜d＜r.∴直线与圆相交但直线不过圆心．3．(2012·高考重庆卷)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心目录答案：234．圆心为(1,2)且与直线5x－12y－7＝0相切的圆的方程为________．答案：(x－1)2＋(y－2)2＝45．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．目录考点探究讲练互动考点突破考点1求圆的方程求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程，另外，根据条件，设方程时尽量减少参数，这样可减少运算量．目录例1根据下列条件求圆的方程．(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)经过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43.【思路分析】(1)利用圆心在OP的垂直平分线和2x＋3y＋1＝0的交点，直接求圆心．也可利用一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，建立D、E的方程．(2)设一般式，利用P、Q，弦长43来确定．目录【解】(1)法一：显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：x2＋y2＝x－12＋y－12，即x＋y－1＝0.解方程组x＋y－1＝0，2x＋3y＋1＝0，得圆心C的坐标为(4，－3)．又圆的半径r＝|OC|＝5，所以所求圆的方程为：(x－4)2＋(y＋3)2＝25.法二：∵圆过原点，∴方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.过点P(1,1)，∴1＋1＋D＋E＝0.①圆心(－D2，－E2)在2x＋3y＋1＝0上，∴－D－3E2＋1＝0.②由①②得D＝－8E＝6.∴方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.目录(2)设的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将P、Q点的坐标分别代入①，得4D－2E＋F＝－20，②D－3E－F＝10，③令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝43，其中y1、y2是方程④的两根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤解②、③、⑤组成的方程组，得D＝－2，E＝0，F＝－12，或D＝－10，E＝－8，F＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.目录【领悟归纳】无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件．一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式．目录考点2直线与圆的位置关系在解决直线与圆的问题时，要注意应用数形结合的思想，利用圆的几何性质简化解题过程．目录例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．【思路分析】(1)设出切线方程易求．(2)利用d＝r可求．目录【解】(1)由题意可知M在圆(x－1)2＋(y－2)2＝4外，故当x＝3时满足与圆相切．当斜率存在时设为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0.由|k－2＋1－3k|k2＋1＝2，∴k＝34，∴所求的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由ax－y＋4＝0与圆相切知|a－2＋4|1＋a2＝2，∴a＝0或a＝43.目录【失误警示】待定切线斜率时，要注意斜率不存在的情况，要用数形结合法检验，同时要确定点与圆的位置关系．目录跟踪训练1．在本例中，若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．解：圆心到直线的距离d＝|a＋2|1＋a2，又l＝23，r＝2，∴由r2＝d2＋(l2)2，可得a＝－34.目录考点3圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系综合了点与圆、直线与圆的位置关系特征，同时也体现了圆本身的特征，圆心距与半径的关系．目录例3圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程．【思路分析】设⊙O2的半径，由|O1O2|＝r1＋r2待定，内公切线垂直于O1O2.目录【解】设⊙O2的半径为r2⊙O1的圆心O1(0，－1)，r1＝2，由|O1O2|＝r1＋r2即0－22＋－1－12＝2＋r2，∴r2＝22－2，∴⊙O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2.⊙O1方程：x2＋y2＋2y＝3，①⊙O2方程：x2＋y2－4x－2y＝7－82，②∴①－②得4x＋4y＝－4＋82，∴x＋y＋1－22＝0为内公切线方程．目录【思维总结】本题求内公切线方程时，用了圆系方程：(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，当λ＝－1时，表示过两圆公共点的直线．目录跟踪训练2．若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．解：∵AB⊥O1O2，kO1O2＝1－－12＝1，∴kAB＝－1，设AB方程为y＝－x＋b，即x＋y－b＝0，O1到AB的距离为d1＝|－1－b|2，∵r1＝2，r21＝d21＋(2)2，∴d21＝4－2＝2，∴|1＋b|＝2，∴b＝1或b＝－3.当b＝1时，AB方程为x＋y－1＝0，∴O2到AB的距离为d2＝|2＋1－1|2＝2，目录∴r22＝d22＋(2)2＝4，∴⊙O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.当b＝－3时，AB方程为x＋y＋3＝0，O2到AB的距离d3＝62.∴r22＝(62)2＋(2)2＝20.∴⊙O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20，综上可知⊙O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.目录方法技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．求切线方程的4种方法：(1)设切点用切线公式；(2)设有关点利用向量数量积等于零；(3)设切线斜率利用判别式；(4)设切线斜率利用圆心到切线的距离等于半径．方法感悟目录3．两圆公切线的条数：(1)两圆内含时，公切线条数为0；(2)两圆内切时，公切线条数为1；(3)两圆相交时，公切线条数为2；(4)两圆外切时，公切线条数为3；(5)两圆相离时，公切线条数为4.4．若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．目录失误防范1．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．2．圆系：(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0不能表示圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.目录考向瞭望把脉高考命题预测从近两年高考试题分析，圆与直线及圆与圆的位置关系试题是高考命题的热点，尤其是直线与圆的位置关系，构成了解析几何问题的基础，并为后继解决直线与圆锥曲线的位置关系埋下伏笔．试题多以选择题、填空题为主，难度不大，注重“三基”的考查，注意挖掘基础知识的能力因素，展示通法，结合圆的有关性质便可顺利得解．同时与函数、方程、不等式有机结合，加强学生思维能力的考查．目录2011年的高考中，大纲全国卷中以圆的切线为背景考查了求圆心距，重庆卷综合考查了求直线、圆、抛物线相切为背景的半径r的最值问题，湖北卷则考查了直线，圆弦长为条件求直线的斜率问题．福建卷求圆的轨迹方程等，都是以考查基本知识、基本方法、基本技能为出发点的中档难度题目.2012年高考中，陕西卷、江苏卷、天津卷均以客观题的形式考查直线与圆的位置关系问题．预测2014年高考，试题以选择题、填空题为主，突出考查切线方程、弦长等内容，结合圆的有关性质，通过数形结合思想优化解题程序，在复习时应重点对待，不可忽视．目录规范解答(本题满分13分)(2011·高考福建卷)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．例目录【解】(1)法一：依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以0－m2－0×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(6分)法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r，解得m＝2，r＝22.所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(6分)目录(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m，由y＝－x－m，x2＝4y得x2＋4x＋4m＝0.(8分)Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．(13分)目录【名师点评】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识、考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，化归与转化思想及分类整合思想．目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放