北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第六章弯曲应力6-2如图所示，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上，试求金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。题6-2图解：金属丝的曲率半径为2dD所以，金属丝的最大弯曲正应变为dDddDdy22maxmax最大弯曲正应力为dDEdEmaxmax而弯矩则为)32(π32π43maxdDdEdDEddWMz6-3图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y1与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。题6-3图解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为1minRρ依据ρEyσ2可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为11maxt,REyσ12maxc,REyσ6-6图a所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数Wz与Wy。题6-6图解：1.Wz计算由图b可以看出，23,2ahab所以，ADB对z轴的惯性矩为64323212112323643323t,aaabhhbhbhIz中部矩形截面对z轴的的惯性矩为432321212)2(433r,aaahaIz于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为16354364344444r,t,aaaIIIzzz而对z轴的抗弯截面系数则为8532163534maxaaayIWzz2.Wy计算ADB对y轴的惯性矩为19231123236423t,aabbhhbIy中部矩形截面对y轴的的惯性矩为312312243r,ahaIy于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为163512319231144444r,t,aaaIIIyyy而对z轴的抗弯截面系数则为16351163534maxaaazIWyy6-7图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1)如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；(2)如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b又应分别为何值。题6-7图解：(1)为使弯曲强度最高，应使zW值最大。)(66222bdbbhWz0)3(61dd22bdbWz由此得dbdhdb363322，(2)为使弯曲刚度最高，应使zI值最大。22331212hdhbhIz012)(3dd224222hdhhdhhIz由此得22322dhdbdh，46-8图a所示简支梁，由№18工字钢制成，弹性模量E=200GPa，a=1m。在均布载荷q作用下，测得截面C底边的纵向正应变=3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。题6-8图解：1.内力分析梁的弯矩图如图b所示，横截面C的弯矩为42qaMC梁内的最大弯矩则为3292maxqaM(a)2.应力计算（解法一）横截面C底部的弯曲正应力为CzCEWqa42max,由此得24aWEqzC代入式（a），得89maxzCWEM于是得梁的最大弯曲正应力为MPa5.678)103.0)(Pa10200(98949maxmaxCzEWM3.应力计算（解法二）横截面C底部的弯曲正应力为CCEmax,由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为5MPa5.6789432922max,maxmaxCCCCEEqaqaMM计算结果相同。6-9图示简支梁，承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为Wz，弹性模量为E，试计算梁底边AB的轴向变形。题6-9图解：梁的弯矩方程为222)(xqxqlxM横截面x处底边微长dx的轴向变形为xEWxMxxlzd)()d()d(所以，梁底边AB的轴向变形为zlzlzEWqlxxqxqlEWxEWxMl12d221d)(Δ30206-10图示截面梁，由№18工字钢制成，截面上的弯矩M=20kN·m，材料的弹性模量E=200GPa，泊松比=0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。题6-10图解：1.截面几何性质工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。6图6-10由附录F表4查得34cm1851660cmmm71094mm,mm180zzWI.tbh，，并从而得。mm3.792/1thh2．计算顶边AB的长度改变量顶边处有EσμεμεWMσzmaxmax由此可得AB边的伸长量为mm01474.0m104741m10185102001020094.029.05693.EWbMbzAB3．计算上半腹板CD的长度改变量距中性轴z为1y的点，弯曲正应力的绝对值为zIMyyσ11)(（1y以向上为正）该处的横向应变为)(11zEIMyy由此可得线段CD的伸长量为mm00549.0m10495m1016601020020793.010202902dd68923211011011..EIMhyyEIMyεΔzhzhCD76-12图a所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截面AC与横截面AB将梁的下部切出，试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是如何平衡的。题6-12图解：1.单元体的应力分析梁内各横截面的剪力相同，其值均为F；在固定端处，横截面上的弯矩则为FlM)0(与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上，弯曲切应力按抛物线分布，最大切应力为bhF23max在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为2max,c6bhFl在纵截面AC上，作用有均匀分布的切应力，其值为bhF23在横截面CD上，作用有合力为F1=F/2的剪切分布力。2.单元体的受力分析根据上述分析，画单元体的受力如图c所示。图中，F2代表横截面AB上由切应力构成的剪切力，F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4则代表纵截面AC上由切应力构成的剪切合力。显然，22FF231242)()0(33hFlbhhbhFlISMFzz23234hFlblbhFblF3.单元体的平衡根据上述计算结果，得80232343hFlhFlFFFx02212FFFFFy03232331hhFllFhFlFMA说明单元体满足平衡条件。6-13图示矩形截面简支梁，承受矩为Me=Fa的集中力偶作用。截面的宽度为b，高度为h。试绘单元体ABCD的应力分布图（注明应力大小），并说明该单元体是如何平衡的。题6-13图解：1.画剪力、弯矩图左、右支座的支反力大小均为3/F，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示如图6-13a与b。图6-132．求单元体两端面上的应力及其合力单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为22max2221max14236bhFaWMσbhFabhFaWMσzzbhFAFττ223S2max2max19由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力xτ与2maxτ数值相等。左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为hFabhσFhFabhσFxx)2(212)2(212max21max1左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为FFFyy6121纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为hFaabFxx2)(S3．检查单元体的平衡方程是否满足0220S12hFahFahFaFFFFxxxx，066021FFFFFyyy，06633302121FaFaFaaFhFhFMyxxz，由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出）。6-14梁截面如图所示，剪力Fs=200kN，并位于x-y平面内。试计算腹板上的最大弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。题6-14图(a)解：截面形心至其顶边的距离为m04818.0m020.0120.0100.0020.0080.02010.0120.0010.0100.0020.0Cy惯性矩和截面静矩分别为10353353max,4642323m10636.7m03818.0020.0100.0m10431.8m209182.0020.009182.0m10292.8]m03182.0120.0010.0212120.0010.0203818.0020.0100.012020.0100.0[zzzSSI于是得腹板上的最大弯曲切应力为MPa7.101Pa10017.1m020.010292.8N10431.81020082653max,SmaxδISFτzz腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为MPa192Pa10219m0200102928N1063671020072653s.....δISFτzz交界(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为m081.0]m100.0)020.0110.0(150.0110.0070.0100.0)020.0110.0(075.0150.0110.0[Cy惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为3433433432max,4542323m10782.1)m015.0069.0(110.0030.0m10562.1)m010.0081.0(110.0020.0m10934.1]m21)030.0069.0(020.0)015.0069.0(110.0030.0[m10294.2]}m)070.00810(100.0090.012100.0090.0[)075.0081.0(150.0110.012150.0110.0{下上zzzzSSS.I于是得腹板上的最大弯曲切应力为MPa3.84Pa1043.8m020.010294.2N10934.11020072543max,SmaxδISFτzz腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为MPa1.68Pa1081.6m020.010294.2N10562.11020072543SδISFτzz上交界上腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为MPa7.77Pa1077.7m020.010294.2N10782.11020072543SδISFτzz下交界下6-17图示铸铁梁，载荷F可沿梁AC水平移动，其活动范围为03l/2。已知许用拉应力[t]=35MPa，许用压应力[c]=140MPa,l=1m，试确定载荷F的许用值。11题6-17图解：1.截面几何性质计算由图6-17可得4642323m10142.3]m)03222.0060.0(080.0020.012080.0020.002222.0020.0100.012020.0100.0[m03222.0)m020.0080.0020.0100.0060.0020.0080.0010.0020.0100.0(zCIy图6-172．确定危险面的弯矩值分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下：当F作用在AB段时，42maxFlMlη，当作用在BC段时，223maxFlMlη，3．确定载荷的许用值由危险面B的压应力强度要求][)100.0(2)100.0(cmaxmaxc,σyIFlyIMσCzCz得kN98.12N10298.1)03222.0100.0(000.1N1014010142.32)1000(][2466c