圆知识点总结和试卷【打印】

1圆知识点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧BDrddCBAOOEDCBAOCDABFEDCBAO2六、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90C∴90C∴AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB∴△ABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。七、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴180CBAD180BDDAEC八、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。九、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA十、圆内正多边形的计算（1）正三角形CBAODCBAOCBAOCBAOEDCBANMAOPBAODCBAO3在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA.十一、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180nRl；（2）扇形面积公式：213602nRSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图(选学)2SSS侧表底=222rhr（2）圆锥侧面展开图(选学)（1）SSS侧表底=2Rrr十二、圆与圆的位置关系(选学)外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；图1rRd图3rRdECBADOBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO图4rRd图5rRd图2rRd45圆测试题一.选择题1．在⊙O中，弦ABCD,OE、OF分别是O到AB和CD的距离，则（）Ａ．OEOFＢ．OE=OFＣ．OEOFＤ．无法确定2．如图,AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm,CD=8cm，则A、B两点到直线CD的距离之和为()Ａ．12cmＢ．10cmＣ．8cmＤ．6cm3．下列命题正确的是（）Ａ．相等的圆心角所对的弧是等弧Ｂ．等圆周角对等弧Ｃ．任何一个三角形只有一个外接圆Ｄ．过任意三点可以确定一个圆4．如图，圆内接四边形ABCD中，AC、BD交于E点，且BC=DC,则图中共有相似三角形（）Ａ．2对Ｂ．4对Ｃ．6对Ｄ．8对5．如图，弦AB∥CD,E为弧CD上一点，AE平分CEB，则图中与AEC相等（不包括AEC）的角共有（）Ａ．3个Ｂ．4个Ｃ．5个Ｄ．6个6．两个扇形的面积相等，其圆心角分别为、，且12，则两个扇形的弧长之比12t:t（）Ａ．1:2Ｂ．2:1Ｃ．4:1Ｄ．1:27．一段铁路弯成圆弧形，圆弧的半径是2km，一列火车以每小时28km的速度行驶，经过10s通过弯道，那么弯道所对的圆心角的度数为（）Ａ．4.4°Ｂ．44°Ｃ．2.2°Ｄ．22°8．在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为（）Ａ．3Ｂ．23Ｃ．33Ｄ．439.如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）二、填空题1．若三角形的三条边长分别为5,12,13，则这个三角形外接圆的半径为___________．2．一条弦把圆分成2:3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为______________．3．如图,A、B、C是⊙O上顺次三点，若OAB44，则ACB＝_______________．64．如图△ABC是圆内接三角形，AB是直径，BC=4cm,∠A=30°,则AC=______________.5．如图，AOB=100°，则圆周角ACB=__________.6．已知扇形周长为14cm,面积为12cm2，则扇形的半径为_____________cm.7．如图，以正方形ABCD的边AD、BC、CD为直径画半圆，阴影部分的面积记为m，空白部分的面积记为n，则m与n的关系为_____________．8．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D,且BOD48,则BAC=___________.9.如图，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ＝1；②；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ=．其中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）三、解答题1．如图27-13，某排水管模截面，已知原有积水的水平面宽CD=0.8m时最大水深0.2m,当水面上升0.2m时水面宽多少？2．已知圆环内直径为acm，外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么，这条锁链拉直后的长度为多少？3．如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？7CPDOBAE4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点,交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．5.如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若2SDE＝43，求△ABC的周长.6.如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求线段CD长的最小值；（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为．BACDEGOF