信号与系统第7章(陈后金)2

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年离散时间信号与系统的复频域分析离散时间信号的复频域分析离散时间LTI系统的复频域分析离散时间系统函数与系统特性离散时间系统的模拟离散时间信号的复频域分析由离散时间Fourier变换到z变换单边z变换及其收敛域常用单边序列的z变换单边z变换的性质单边z反变换六、单边z反变换zzzXkxkcd)(πj21][1C为X(z)的ROC中的一闭合曲线。计算方法：幂级数展开和长除法留数计算法部分分式展开解：2115.05.015.02)(zzzzX][,15.05.05.02)(:122kxzzzzzzX求例115.011zBzA将X(z)化为z的负幂，可得15.015.02)()1(11111zzzzzXzA115.02)()5.01(5.0115.01zzzzzXzB将X(z)进行z反变换，可得][)5.0(][)}({][1kukuzXZkxk解：][,4)41()21(2)(:2121kxzzzzX求例11214121)21()(zCzBzAzX2412)()21(1221zzGzAz2121d])21)(([d)2(1zzzzGB4412dd21211zzz8)()41(41zzGzC][]48242)1(2[][kukkxkkk进行z反变换，得解：][]48242)1(2[][][kukkkxkkk][,4)41()21(162083)(:3121321kxzzzzzzzX求例1121418214)21(21)(zzzzX将G(z)用部分分式展开，如例2所示，所以进行z反变换，得)41()21(21)(121zzzXm=n，由多项式除法可得G(z)六、单边z反变换部分分式法nnmmzazazbzbbzAzBzX111101)()()(1.mn，分母多项式无重根111)(zprzXiini各部分分式的系数为ipziizXzpr)()1(1六、单边z反变换部分分式法nnmmzazazbzbbzAzBzX111101)()()(2.mn，分母多项式在z=u处有l阶重极点ililiiilniuzqzprzX)1(1)(110111,0,)()1()(dd!)(111lizXuzziuquzliiii六、单边z反变换部分分式法nnmmzazazbzbbzAzBzX111101)()()(3.mn)()()(1111zAzBzkzXiinmi按(1)(2)情况展开多项式解：][,,)(222kxazazzzX求例：X(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开,可以直接利用201100cos21sin][)sin(zzzkukZ20100cos21sin][)]1(sin[zzkukZ解：][,,)(222kxazazzzX求例：2111)(zzX][)]1(2πsin[][1kukkx][)2πcos(][kukakxk2)/(11)(azzX由指数加权性质解：0,)1)(21(1)(211zzzzzXA=4/3,B=2/3,C=1/3;2121)3/πcos(211zzzz][})3/πsin(3)]1(3πsin[)3/πsin(3)3πsin(2)2(34{][kukkkxk例：求x[k]。2111121)(zzCBzzAzXB,C用待定系数法求1)双、单边z变换的定义与适用范围：双边适用于离散系统综合设计单边大多用于离散系统的分析2)z域分析与其他域分析方法相同。离散时间系统响应的z域分析时域差分方程时域响应y[k]z域响应Y(z)z变换z反变换解差分方程解代数方程z域代数方程二阶系统响应的z域求解0]1[][]2[]1[][1021kkxbkxbkyakyaky对差分方程两边做z变换，利用)()(]1[]2[)(]1[)()(11012222111zXzbzXbzyayazYzayazYzazY]1[)(]}[]1[{1yzYzkukyZ]2[]1[)(]}[]2[{12yzyzYzkukyZ初始状态为y[1],y[2]二阶系统响应的z域求解22111221zi1]1[]2[]1[)(zazazyayayazY)(1)(2211110zszXzazazbbzY)()(][zszi1zYzYZkyYzi(z)Yzs(z))(11]1[]2[]1[)(221111022111221zXzazazbbzazazyayayazY解：例：某离散LTI系统满足y[k]4y[k1]+4y[k2]=4x[k]已知y[1]=0，y[2]=2，x[k]=(3)ku[k]，由z域求yzi[k]、yzs[k]、y[k]。Y(z)4{z1Y(z)y[1]}+4{z2Y(z)+z1y[1]+y[2]}=4X(z)21211441)(4441]2[4]1[4]1[4)(zzzXzzyyzyzYYzi(z)Yzs(z)将差分方程两边进行单边z变换得求解此代数方程可得系统完全响应的z域表示式解：yzs[k]=Z1{Yzs(z)}=[1.6(k+1)(2)k+0.96(2)k+1.44(3)k]u[k]y[k]=yzi[k]+yzs[k]21)21(8z0,)2(8)2(8)}({][zi1zikkzYZkykk11213144.12196.0)21(6.1zzz例：某离散LTI系统满足y[k]4y[k1]+4y[k2]=4x[k]已知y[1]=0，y[2]=2，x[k]=(3)ku[k]，由z域求yzi[k]、yzs[k]、y[k]。211zi441]2[4]1[4]1[4)(zzyyzyzY121zs3114414)(zzzzY=6.4k(2)k5.44(2)k+1.44(3)kk021132]2[]1[]1[3)(zzyzyyzY)(3212121zXzzzz解：令k=k2例：已知一LTI离散系统满足差分方程][][,1]2[,2]1[0][]1[]2[][]1[3]2[2kukxyykkxkxkxkykyky由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应]2[]1[][]2[]1[3][2kxkxkxkykyky对差分方程两边做z变换)()1(])2[]1[)((])1[)((3)(221121zXzzyzyzYzyzYzzY解：例：已知一LTI离散系统满足差分方程][][,1]2[,2]1[0][]1[]2[][]1[3]2[2kukxyykkxkxkxkykyky由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应211zi32]2[]1[]1[3)(zzyzyyzY2113225zzz115.015.013zz11zi1zi)5.0()1(3)}({][kkzYZky零输入响应为21132]2[]1[]1[3)(zzyzyyzY)(3212121zXzzzzk0解：例：已知一LTI离散系统满足差分方程][][,1]2[,2]1[0][]1[]2[][]1[3]2[2kukxyykkxkxkxkykyky由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应故零状态响应为12121zs1132)1()(zzzzzzY1115.016/515.016/1zzz][})5.0)(6/5()1(5.06/1{)}({][zs1zskuzYZkykkkkkykyky)5.0)(3/4()1(5.36/1][][][zszik021132]2[]1[]1[3)(zzyzyyzY)(3212121zXzzzz111][zkuz由于系统函数H(z)与系统特性系统函数H(z)系统函数的定义H(z)与h[k]的关系z域求零状态响应求H(z)的方法零极点与时域特性离散系统的稳定性零极点与频域特性一、系统函数1.定义系统在零状态条件下，输出的z变换式与输入的z变换式之比，记为H(z)。)()(]}[{]}[{)(zszszXzYkxZkyZzH一、系统函数2.H(z)与h[k]的关系]}[{)(khZzH)]([][1zHZkhh[k][k]yzs[k]=[k]*h[k]]}[{1]}[{]}[{]}[{)(zskhZkhZkZkyZzH][kh一、系统函数3.求零状态响应h[k]H(z)x[k]yzs[k]=x[k]*h[k]X(z)Yzs(z)=X(z)H(z)一、系统函数4.求H(z)的方法①由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Z{h[k]}③由系统的差分方程写出H(z)]}[{]}[{)(zskxZkyZzH②由定义式解：例：求单位延时器y[k]=x[k1]的系统函数H(z)。)(][zXkxz)(]1[1zXzkxz11zs)()()()()(zzXzXzzXzYzH利用z变换的位移特性，有根据系统函数的定义，可得即单位延时器的系统函数H(z)为z1。解：例：一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,当输入x[k]=(0.5)ku[k]时，输出响应为y[k]=4(0.5)ku[k]0.5k(0.5)k1u[k1](0.5)ku[k]求系统函数H(z)。][)5.0(][)5.0)(1(][)5.0(5][kukukkukykkk12115.011)5.01(15.015)(zzzzY)5.01()5.01(5.15.0312121zzzz解：例：一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,当输入x[k]=(0.5)ku[k]时，输出响应为y[k]=4(0.5)ku[k]0.5k(0.5)k1u[k1](0.5)ku[k]求系统函数H(z)。对于初始状态为y[1]=8,y[2]=2的一般二阶系统2211122122112211018281)()(zazazaaazazazbzbbzXzY22125.015.025.15.2)(zzzzH)5.01()5.01(5.15.0312121zzzzH(z)