信号与系统第六章(陈后金)1

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号的复频域分析连续时间LTI系统的复频域分析连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟连续时间信号与系统的复频域分析为什么进行信号与系统的复频域分析？如何进行信号的复频域分析?如何从复频域分析系统的响应？系统函数的地位和作用是什么?连续时间信号的复频域分析从傅里叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的反变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换s1x(t)=etu(t)0的傅里叶变换？将x(t)乘以衰减因子etttxtxFtttdee)(]e)([jtttdee)j(00)(dettsjs令不存在!若一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换推广到一般情况令s=+jttxtxFtttdee)(]e)([jttxtde)()j()(de)(sXttxstttxsXstde)()(即由x(t)e-t的傅里叶反变换可推出ssXtxstde)(πj21)(jj一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉普拉斯正变换)]([)(txLsX)()(sXtxL符号表示：)]([)(1sXLtx物理意义：信号x(t)可分解成复指数est的线性组合，信号不同只是复指数est前的系数X(s)不同。X(s)是复频率s的函数，称复频谱。ttxsXstde)()(ssXtxstde)(πj21)(jj拉普拉斯反变换二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件关于积分下限的说明：积分下限定义为零的左极限，目的在于s域分析时能够有效地处理出现在0时刻的冲激信号。0d)()(ettxsXstjjd)(πj21)(essXtxst单边拉普拉斯变换二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换存在的条件Cttxtd|)(|e对任意信号x(t)，若满足上式，则x(t)应满足0e)(limtttx(0)充要条件为：二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换存在的条件0称收敛条件收敛区j00称绝对收敛坐标S平面右半平面左半平面例1计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。)()()1(tutu)()2(tu)(e)3(3tut)()4(tutn2e,)5(tttCttxtde|)(|0e)(limtttx或分析：求收敛域即找出满足的取值范围。收敛域为全s平面030不存在三、常用信号的拉普拉斯变换1.指数型函数etu(t)sttuLsttt1dee)](e[0stuLt1)(e0jj1)(e0stuLt)j(1)(e00)j(00stuLt同理：00三、常用信号的拉普拉斯变换1.指数型函数etu(t)正弦信号)(2ee)(cos00jj0tututtt20200)j1j1(21ssssL)(j2ee)(sin00jj0tututtt202000)j1j1(j21sssL00三、常用信号的拉普拉斯变换2.阶跃函数u(t)stuLtuLt1)](e[lim)]([00)Re(0s或三、常用信号的拉普拉斯变换3.)(),()(ttntttLstde)()]([01)Re(stttLstde)(')]([0'0)e(ddtstsstttLstnnde)()]([0)()(0)e(dd)1(tstnnnsns三、常用信号的拉普拉斯变换4.t的正幂函数tn，n为正整数ttsnsttttutLstnstnstnnde)e(de)()]([0100ttsnstnde01)]([1tutLsnn根据以上推理,可得)]([1)]([)]([21tutLsnsntutLsntutLnnn)]([12210tutLsssnsnsn0)Re(,!)(1ssntutnLn)Re(1)(esstuLt)Re(1)(esstuLt0)Re(j1)(e0j0sstuLt0)Re(j1)(e0j0sstuLt0)Re()(cos2020ssstutLRe(s)1)(Lt0)Re()(sin20200sstutLRe(s))()(nLnst0)Re(1)(sstuL0Re(s)1)(2sttuL0Re(s)!)(1nLnsntutRe(s))(1)(e2stutLt0202000Re(s))()(cose0sstutLt0202000Re(s))(s)(sine0Ltttu0Re(s))()(cos22022020ssttutL0Re(s))(2)(sin220200ssttutL四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系1）当收敛域包含j轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。j)()j(ssXX2）当收敛域不包含j轴时，拉普拉斯变换存在而傅里叶变换均不存在。3）当收敛域的收敛边界位于j轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。)(π)()j(jnnnsKsXX例2计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。)(e3tut)(e3tut)(2costut解：时域信号傅里叶变换拉普拉斯变换)(e3tut)(e3tut)(2costut3j1331s不存在331s)]2()2([2π4)j(j2042ss例3由X(s)求X(j)4)4(2ss0)9(12ss解：1)收敛域-4包含j轴2j)4j(j)()j(ssXX2)收敛域的收敛边界位于j轴ssssX1913j11813j1181)()(9π)]3()3([18π)9(j1)j(2X)(π)()j(jnnnsKsXX五、单边拉普拉斯变换的性质1.线性特性若则111)Re()()(ssXtxL222)Re()()(ssXtxL)()()()(22112211sXasXatxatxaL),max()Re(21s五、单边拉普拉斯变换的性质2.展缩特性若则0)Re()()(ssXtxL0)(1)(aasXaatxL0)Re(as五、单边拉普拉斯变换的性质3.时移特性若0)Re()()(ssXtxL0)(e)()(0000tsXttuttxstL0)Re(s则五、单边拉普拉斯变换的性质4.卷积特性111)Re()()(ssXtxL222)Re()()(ssXtxL)()()(*)(2121sXsXtxtxL),max()Re(21s五、单边拉普拉斯变换的性质5.乘积特性111)Re()()(ssXtxL222)Re()()(ssXtxL)](*)([πj21)()(2121sXsXtxtxL21)Re(s五、单边拉普拉斯变换的性质5.乘积特性0)()(esXtxLt0)Re(s0)Re(d)(d)(sssXttxL0)Re()()(ssXtxL乘积性质两种特殊情况：1）指数加权性质若则2）线性加权性质五、单边拉普拉斯变换的性质6.微分特性0)Re()()(ssXtxL0)Re()0()(d)(dsxssXttxL证明：0ded)(dd)(dtttxttxLsttstxtxststd)e)((e)(000de)()0(ttxsxst)0()(xssX五、单边拉普拉斯变换的性质6.微分特性重复应用微分性质，求得：)0(')0()(d)(d222xsxsXsttxL)0(...)0(')0()(d)(d121nnnnLnnxxsxssXsttx101)0()(nrrrnnxssXs若x(t)=0,t0,则有xr(0)=0，r=0,1,2,...)(d)(dsXsttxnLnn五、单边拉普拉斯变换的性质7.积分特性0)Re()()(ssXtxLsxssXxLt)0()(d)(1)0,max()Re(0s若x1(0)=0，则有ssXxLt)(d)(五、单边拉普拉斯变换的性质7.积分特性ttxLxLxL00d)(d)(d)(证明：其中，右边第一项sxxL)0(d)(10第二项按部分分式，得000()d()dedttstLxxt000de)(1d)(ettxsxssttstssX)(五、单边拉普拉斯变换的性质8.初值定理和终值定理0)Re()()(ssXtxL)(lim)0()(lim0ssXxtxst)(lim)()(lim0ssXxtxst若x(t)在t=0不包含冲激及其各阶导数则若sX(s)的收敛域包含j轴则例4试求如图所示周期信号的单边Laplace变换。x(t)t0123254分析：周期为T的单边周期信号x(t)可以表示为第一个周期信号x1(t)及其时移x1(tkT)的线性组合，即)()(10kTtxtxk若计算出x1(t)的Laplace变换X1(s)，利用Laplace变换的时移特性和线性特性，即可求得单边周期信号的Laplace变换为sTskTksXsXtxLe1)()(e)]([110Re(s)0x1(t)例4试求如图所示周期信号的单边Laplace变换。x(t)t0123254解：)]1()([2)(1tututx)4()2()()(111txtxtxtx)e1(2)}({)(11sstxLsX)Re(sssssXsXsX21421e1)()ee1)(()(因为所以Re(s)0x1(t)解：)0(')0()(d)(d222xsxsXsttxL)(2sXsss2ee2122ee21)(ssXss)Re(s方法1对x(t)求导例5试求如图所示信号的单边Laplace变换。tx(t)1012tx'(t)10121tx''(t)(1)0122)(1)利用拉氏变换的微分特性,可得解：例5试求如图所示信号的单边Laplace变换。tx(t)1012tx1(t)1012方法2)()()(11txtxtx211)e1()()()(ssXsXsXs)Re(s对x(t)表达为)1()()(1tututxssXse1)(1)Re(s利用拉氏变换的卷积特性,可得stuL/1)]([拉氏