数列通项公式求法(叠加-叠乘等)全面

-1-数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。◆一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例1．①已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式.②已知数列na的前n项和nS满足21nSnn，求数列na的通项公式.◆三、累加（乘）法对于形如)(1nfaann型或形如nnanfa)(1型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列na中，31a，naann1，求通项na。解析：由naann1得naann1，所以11naann，221naann，…，112aa，将以上各式相加得：1)2()1(1nnaan，又31a所以na=32)1(nn例5.在数列na中，11a，nnnaa21（*Nn），求通项na。解析：由已知nnnaa21，112nnnaa，2212nnnaa，…，212aa，又11a，-2-所以na=1nnaa21nnaa…12aa1a=12n22n…12=2)1(2nn◆四、取倒（对）数法例6.．设数列}{na满足,21a),N(31naaannn求.na解：原条件变形为.311nnnnaaaa两边同乘以,11nnaa得11131nnaa.∵113211,211)2113nnnnaaa（∴.13221nna变式:1.已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！2、若数列的递推公式为11113,2()nnanaa，则求这个数列的通项公式。3、已知数列{na}满足2,11na时，nnnnaaaa112，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛an｝中，a1=1，a1n=22nnaan∈N，求通项an．-3-◆五、待定系数法：1、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地，形如a1n=pan+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a1n+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=1pq，从而得等比数列{an+k}。例9、数列{an}满足a1=1，an=21a1n+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。解：由an=21a1n+1（n≥2）得an－2=21（a1n－2），而a1－2=1－2=－1，∴数列{an－2}是以21为公比，－1为首项的等比数列∴an－2=－（21）1n∴an=2－（21）1n练习、1数列{an}满足a1=1，0731nnaa,求数列{an}的通项公式。2、已知数列na满足11a，且132nnaa，求na．2、递推式为11nnnqpaa（p、q为常数）时，可同除1nq，得111nnnnqaqpqa，令nnnqab从而化归为qpaann1（p、q为常数）型．、例10．已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na．解：将123nnnaa两边同除n3，得nnnnaa321311133213nnnnaa设nnnab3，则1321nnbb．令)(321tbtbnntbbnn313213t．条件可化成)3(3231nnbb，数列3nb是以3833311ab为首项，-4-32为公比的等比数列．1)32(383nnb．因nnnab3,)3)32(38(331nnnnnba2123nnna．◆六：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例16已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得221111(1)[14(1)]241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以{3}nb是以1131243124132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得2111()()3423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列{3}nb为等比数列，进而求出数列{3}nb的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。