向量加减法数乘的坐标运算习题

例1:如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标.ijabcdAA1A2解：如图可知12a=AA+AA=2i+3ja=(2,3)同理b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).1．向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.那么当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线，即a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．证明三点共线的方法设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，只要证明向量AB→与BC→共线，便可证得A、B、C三点共线．1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则a和b()A．共线且方向相同B．共线且方向相反C．是相反向量D．不共线自测自评解析：a＝－23b且－230，∴a和b共线且方向相反．答案：B2．若三点P(1,1)、A(2，－4)、B(x，－9)共线，则()A．x＝－1B．x＝3C．x＝92D．x＝51解析：PA→＝(1，－5)，PB→＝(x－1，－10)．∵PA→∥PB→，∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，x＝3.答案：B3．已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与AB→共线的单位向量是()A．(－6,12)B．(－6,2)或(6，－2)C．(－31010，1010)D．(－31010，1010)或(31010，－1010)解析：与AB→共线的单位向量是±AB→|AB→|.答案：D4．已知|a|＝23，b＝(－1，3)，且a∥b，则a＝________.解析：∵a∥b，b＝(－1，3)，可设a＝(－λ，3λ)，又∵|a|＝23，∴(－λ)2＋3λ2＝12，λ＝±3.当λ＝3时，a＝(－3，3)．当λ＝－3时，a＝(3，－3)答案：(－3，3)或(3，－3)5．已知A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，试问：(1)AB→与CD→是否共线？解：(1)AB→＝(4,4)，CD→＝(－8，－8)，∴CD→＝－2AB→.∴AB→与CD→共线．平面向量共线的坐标运算【例1】向量a＝(1,1)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x，并判断u与v同向还是反向．思路分析：利用向量坐标运算的各公式．1已知a＝(3，－2)，b＝(－10,9)．试问当k为何值时，ka＋b与2a－3b平行？平行时它们同向还是反向？解：ka＋b＝k(3，－2)＋(－10,9)＝(3k－10，－2k＋9)，2a－3b＝2(3，－2)－3(－10,9)＝(6＋30，－4－27)＝(36，－31)，∵ka＋b与2a－3b平行，∴(3k－10)×(－31)－(－2k＋9)×36＝0.解得k＝－1421＝－23，此时ka＋b与2a－3b平行，且反向．三点共线问题【例2】向量PA→＝(k,12)，PB→＝(4,5)，PC→＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线？思路分析：A、B、C三点要共线，则必有BA→∥CA→.2已知向量OA→＝(k,12)、OB→＝(4,5)、OC→＝(－k,10)，且A、B、C三点共线，则k＝________.解析：AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，BC→＝OC→－OB→＝(－4－k,5)，由AB→∥BC→，所以7(k＋4)－5(4－k)＝0，得k＝－23.答案：－23向量平行的应用【例3】如下图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．当时，点P的坐标是什么？12PP=λPP3已知向量AB→＝(4,3)、AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求y与λ的值．一、选择题1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线基础达标解析：由a＋b＝(0,1＋x2)，且1＋x2≠0及向量的性质可知选C.答案：C4．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：∵c∥d，∴存在实数λ，使c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴k＝λλ＝－1，故选D.答案：D8．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析：在平行四边形ABCD中，OB→＋OD→＝OA→＋OC→，∴OD→＝OA→＋OC→－OB→＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即D点坐标为(0，－2)．答案：(0，－2)9．已知A(－1,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(0,2)，则四边形ABCD的形状为________．解析：由于AB→＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，DC→＝(4,3)－(0,2)＝(4,1)，所以AB→＝DC→，所以四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形三、解答题10．已知OA→＝(1,1)，OB→＝(3，－1)，OC→＝(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；解：(1)由题意知，AB→＝OB→－OA→＝(2，－2)，AC→＝OC→－OA→＝(a－1，b－1)，若A，B，C三点共线，则AB→∥AC→，即2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，故a＋b＝2.(2)若AC→＝2AB→，求点C的坐标．12．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t为正实数，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－1ka＋1tb.是否存在k，t，使x∥y？若存在，求出k，t的取值范围；若不存在，请说明理由．创新题型