三角函数中的数形结合例题及其解法

三角函数中的数形结合例题及其解法在三角函数中，利用数形结合的思想解决一些问题可以带来极大的方便，也容易理解，使一些抽象的问题形象化。【例1】函数f（x）=sinx+2sinx，x∈［０，２π］的图象与直线y=k有且仅有２个不同的交点，则k的取值范围是.【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率.解：函数f（x）＝由图象可知：1k3.【例2】若sinα+cosα=tanα（0α），则α∈（）.解：令f（x）=sinx+cosx=sin（x+）（0α），g（x）=tanx，画出图象，从图象上看出交点Ｐ的横从标xP.再令α＝，则sin+cos=≈１.366，tan=≈1.7321.367，由图象知xP应小于.故选Ｃ.【点评】本题首先构造函数f（x），g（x），再利用两个函数的图象的交点位置确定α，淘汰了Ａ、Ｂ两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项Ｃ，起到了出奇制胜的效果.【例3】已知函数f（x）是定义在（－３，３）上的奇函数，当0x3时f（x）图象如下图所示，那么不等式f（x）cosx0的解集是（）.解：函数f（x）定义在（－３，３）上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f（x）在（－３，０）上的图象如图所示，若使f（x）cosx0，只需f（x）与cosx异号，即图象须分别分布在x轴上下侧，由图可知，有三部分区间符合条件要求，即（－，－１）∪（０，１）∪（，３），故选B.【点评】已知函数的一部分图象，根据函数的性质可得到函数的另一部分图象，利用数形结合的思想，可以先画出完整的函数图象，再研究有关问题.另外，单位圆在求值域、定义域等问题中也有广泛应用。用单位圆理解问题十分实用，是三角函数中必须掌握的。在此就不多举例了。数形结合在三角函数中有广泛的应用，也会带来出其不意的效果，在上面的例题中可见一斑。所以一定要充分掌握，提高解题速度。