17高考复习-优化方案第2章--基本初等函数第12课时

山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第12课时导数与函数的单调性、极值山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考第12课时导数与函数的单调性、极值双基研习•面对高考山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回1．函数的单调性(1)(函数单调性的充分条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)0，则f(x)为_________函数；如果f′(x)0，则f(x)为__________函数．(2)(函数单调性的必要条件)设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果y＝f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内有______(或_______)．单调递增单调递减f′(x)≥0f′(x)≤0双基研习•面对高考基础梳理山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回2．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个______，记作____________；如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是f(x)的一个______，记作_____________极大值与极小值统称为______(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是________②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是__________极大值y极大值＝f(x0)极小值y极小值＝f(x0)．极值．极大值．极小值．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回思考感悟导数为零的点都是极值点吗？提示：不一定是．例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回1．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－3x的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)答案：C2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则实数a等于()A．2B．3C．4D．5答案：D课前热身山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回3．(教材习题改编)函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内的极小值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回4．函数f(x)＝12x－x3的极大值为________．答案：165．函数f(x)＝xlnx在(0,5)上的单调递增区间是________．答案：(1e，5)山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回考点探究•挑战高考考点突破求函数的单调区间求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)0或f′(x)0，解出相应的x的范围，当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回求下列函数的单调区间：(1)y＝x3－12x2－2x＋5；(2)y＝2x2－lnx.例1【思路分析】求f′x→解方程f′x＝0→确定fx的单调区间山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】(1)y′＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令y′0，得x－23或x1，令y′0，得－23x1，因此，函数的单调增区间是(－∞，－23)，(1，＋∞)；函数的单调减区间是(－23，1)．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回(2)函数的定义域是(0，＋∞)，y′＝4x－1x＝4x2－1x，令y′0，得x12，令y′0，得0x12，因此，函数的单调增区间是(12，＋∞)；函数的单调减区间是(0，12)．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【误区警示】如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如(1)中把增区间写为“(－∞，－23)∪(1，＋∞)”是不正确的，因为“(－∞，－23)∪(1，＋∞)”不是一个区间，该函数在(－∞，－23)∪(1，＋∞)上不是单调递增的．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回由单调性确定参数范围已知函数单调性，求参数范围．设函数f(x)在(a，b)内可导，若f(x)在(a，b)内是增函数，则可得f′(x)≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f(x)在(a，b)内是减函数，则可得f′(x)≤0.山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．【思路分析】(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间；(2)转化为恒成立问题，求a.例2山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】(1)f′(x)＝ex－a.若a≤0，f′(x)＝ex－a0恒成立，即f(x)在R上递增．若a0，ex－a0⇒exa⇒xlna.∴f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)．(2)∵f(x)在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立．∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．∴a≤(ex)min，又∵ex0，∴a≤0.【误区警示】(2)中易忽略“a≤0”中的“＝”．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回互动探究在例2条件下，问是否存在实数a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：法一：由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立．∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．∵ex在(－∞，0]上为增函数．∴x＝0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立．∴a≤ex在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1，综上，a＝1.法二：由题意知，x＝0为f(x)的极小值点．∴f′(0)＝0，即e0－a＝0，∴a＝1.山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回求函数的极值求可导函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的根；(4)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近f′(x)0，右侧附近f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f′(x)0，右侧附近f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回(2010年高考安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0x2π，求函数f(x)的单调区间与极值．【思路分析】按照求函数单调区间和极值的步骤求解．例3山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【解】由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0x2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，于是f′(x)＝1＋2sin(x＋π4)．令f′(x)＝0，从而sin(x＋π4)＝－22，得x＝π，或x＝3π2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回x(0，π)π(π，3π2)3π2(3π2，2π)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增π＋2单调递减32π单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f(3π2)＝3π2，极大值为f(π)＝π＋2.山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回【规律小结】(1)可导函数的极值点必须是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回方法技巧1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．2．求极值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小(如例3)．方法感悟山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回失误防范1．利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．(3)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．山东水浒书业有限公司·章基本初等函数双基研习•面对高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考返回2．可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函