1平面向量数量积的定义及其几何意义

2.4.1平面向量数量积的定义及其几何意义扬中市第二高级中学知识改变命运,勤奋创造奇迹.我们已经研究了向量的哪些种运算？其结果是什么？复习1向量的夹角180与反向abOABabOAa0与同向abOABabaBbb记作ab90与垂直，abOABab注意:求两向量的夹角,两向量必须共起点的夹角。和叫做向量则作两个非零向量baAOBbOBaOAba,,,,00180,0复习2考考你：如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060'C一个人在单杠上做引体向上时,手臂张开多大的角度握杠才最省力?两臂的夹角越小,手臂就越省力人生最重要的不仅是努力，而是抉择，找准方向思考：规定:零向量与任一向量的数量积为实数0OABba记作的数量积（或内积），和叫做，我们把数量它们的夹角为和两个非零向量bababacos,a·b=|a||b|cos00a即（实数）向量的数量积是一个向量吗？是一个数量（实数）。一、平面向量的数量积定义向量的数量积与数乘向量的区别是什么？温馨提示不能写成，表示向量的另一种运算．点号“·”不能省略.bababa夹角的范围cosbaba9009018090的正负ba讨论完成表格：a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜90°时为正；当90°＜θ≤180°时为负。当θ=90°时为零。正零负bababa合作讨论1：向量数量积的符号由什么来决定？为什么？||||cosabab求BCCA8,7,60BCCAC练习1：在△ABC中120答案：-28CAB78.,120,4,5.10bababa求的夹角与已知例102145120cos0baba解：例题讲解.,8,2,82的夹角与求：已知例bababaooobabababa60180,021828coscos解：.,30,2,36bbaabao求的夹角与变式：已知6例题讲解___;)1(baba、______;)2(baba同向时，与、当______;baba反向时，与当_____;___;aaa或特别地，)(___)3(比较二者的大小、bababaaa0ba-2a重点掌握都是非零向量，则与设向量ba合作探究2：向量共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？||||cosabab.,52,5).5(求，已知baba.,3).1(aaa求已知.,)(bb求已知422..2,2,4).3(baba求已知，求且已知04,3)4(baba92090°32a比一比速度向量a在b方向上的投影是什么？投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．OABab1B︱a︱cosθC二、平面向量数量积的几何意义bOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1B1OB|b|cosθ（1）投影的概念说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABab1BBOAab1BOABab)(1Bθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当=0时投影为|b|当=180时投影为-|b|.OABθ|b|cosθabB1ba等于a的长度||a方向上的投影在ab与cos||b的乘积。||||cosabab例1：例题讲解如图，已知为边长2的正三角形，求：ABC⑴在方向上的投影;⑵在方向上的投影.ACCAABABACB解：⑵与的夹角CAAB120120cos2cosCA1212则在方向上的投影为，在方向上的投影为。abba123a练习1：若，，与的夹角2a3bb60(1)已知||2,||3ab,a与b的夹角为6，则_____.ab(2)若||3,||4ab，且6ab，求a与b的夹角、a在b方向上的投影及b在a方向上的投影。的形状。时，试判断或当中，已知ABCbababACaABABC00,,3课堂小测3360232钝角或直角1、一个意义3、三条性质2、两个定义（数量积、投影)成功并不能用一个人达到什么地位来衡量，而是依据他在迈向成功的过程中，到底克服了多少困难和障碍。——布克·华盛顿祝同学们学习进步bababa求，的夹角为与已知向量,3,20451ba2ba∥32345cos32cos0baba解：090cosbababa时，当6180cos18060cos01800,00bababababababa，当，当或∥试一试