极限定理 样本及抽样分布

第五章极限定理X~B(n,p),以Ｘi表示第ｉ次试验A发生的次数以X表示n重贝努里试验A发生次数EX=np,DX=npq,大数定律niiXn11niiXnE11niiXEn1)(1Ｘi独立同分布中心极限定理Ｘi独立同分布,且E(Xi)=μ,D(Xi)=б25.1大数定律大数定律表达了大量随机变量平均值的稳定性.niiXn11niiXnE11.,...,,1}{lim21aYaYYYaYPPnnnn-记为依概率收敛于则称序列对于任意正数e,有定义5.1设随机变量序列Y1,Y2…Yn,a是常数,LeniiXEn1)(1贝努利大数定律以nA是n次贝努利试验中A出现的次数,P(A)=p,则当n→∞时,有:表达了频率的稳定性.X~B(n,p),X表示n重贝努里试验中A发生次数.第ｉ次试验中A发生第ｉ次试验中A不发生有辛钦大数定律设随机变量X1,X2…Xn…相互独立,服从同一分布，数学期望E(Xi)=(i=1,2…),则对于任意正数e,有1}1{lim1-enkknXnP表达了随机变量算术平均值的稳定性.例5.2设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率是0.7,假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.解：设X表示同时开着的灯数,有X~b(10000,0.7).E(X)=7000,D(X)=2100,5.2中心极限定理观察结果表明：大量相互独立的随机变量之和,每个随机变量对总和的影响都很小,近似服从正态分布.独立同分布的中心极限定理设X1,X2…..Xn独立同分布,E(Xi)=μ,D(Xi)=б2,当n充分大时,有即例5.3一个螺丝钉重量时一个随机变量,期望值是1两,标准差是0,1两.求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.解设一盒重量为X,第i个螺丝钉重量为Xi,有E(Xi)=1,D(Xi)=0.01,有X~N(100,1).例5.4对敌人的防御地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数是随机变量,期望值2,方差1.69.求在100次轰炸中有180到220颗炸弹命中目标的概率.解:以Xi表示第i次轰炸中命中目标的炸弹数,则有X近似服从N(200,169).设X~B(n,p),则X表示n重贝努里试验中A发生次数.第ｉ次试验中A发生第ｉ次试验中A不发生德莫佛-拉普拉斯定理设随机变量X~B(n,p),则当n充分大时,有即例已知生男孩的概率为0.515,求在10000新生儿中女孩不少于男孩的概率.解:以X表示10000个新生儿中的男孩数,则X~b(10000,0.515),X近似服从正态分布N(5150,2498)所求概率为P{X≦5000}例保险公司有10000个同龄同阶层的人参加人寿保险,该类人一年内死亡的概率为0.006，每个参保的人在年初付12元保险费，死亡时家属可领得1000元.问保险公司亏本的概率.解:设这10000人中一年内死亡的人数为X，则X~b(10000,0.006),X近似服从正态分布N(60,59.64)P{亏本}=P{X120}第六章样本及抽样分布第一节随机样本研究对象的全体称为总体.每一个元素称为个体.总体用随机变量X表示.从总体中随机独立抽取一部分个体进行观察,所抽得的个体称为样本.样本的观察值x1,x2….xn称为样本值.总体X的分布函数为F(x),则样本X1,X2….Xn的联合分布函数样本用随机变量X1,X2…Xn表示.),,,(21nxxxFL).(1inixF)()()(2121nXXXxFxFxFnL)()()(21nxFxFxFL例考察某种型号灯泡的寿命，设为X,总体X服从指数分布Ｅ(),从中随机独立抽取５个个体,设为X1,X2…X５,x1=1010,x2=1020,x３=1000,x４=990,x5=980。X可能为０到正无穷上任一值。则X1,X2…X５相互独立且Xi~Ｅ(),例考察某厂家生产的彩电是否合格,总体X~(0-1)分布,从中随机独立抽取5台,则X1,X2…X5相互独立且Xi~(0-1)分布.x1=1，x2=0，x３=1，x４=０，x5=1。总体分布P{X=1｝=p，Ｐ｛X=0}=1-p，常写成P{X=x｝合格品否则合格率为p，x=0或１。＝px(1-p)1-x,分别以X1,X2…X5表示,例某种炮弹的炮口速度,随机独立抽取５发,则X1,X2…X５相互独立且Xi~N(µ,δ2).x1=3,x2=4,x３=5,x４=6,x5=7。设为X,总体Ｘ服从正态分布Ｎ(µ,δ2),),,,(21nXXXgL不含任何未知参数.统计量:样本X1,X2….Xn的函数样本方差样本均值niiXnX11][1111122122----niiniiXnXnXXnS分别以X1,X2…X５表示炮口速度,但µ,δ2未知，--niiiXXXXn122)2(11--niininiiXXXXn11212)2(11--niiXXnS12211)(1112-niiXn][11122--niiXnXnniiXnX112Xn22Xn-2222...XXXX2XnniiXX1niiXX12Xn样本k阶矩L,2,111kXnAnikik样本k阶中心矩L,2,111-kXXnBnikik:kX阶矩的总体)(kkXEa:kX阶中心矩的总体kkXEXEb)]([-例总体X的期望,方差分别为X1，X2…Xn为来自总体X的样本,求),(),(2XDXE。)(),(2SEXEniiniiXEnXnEXE11)(1)1()(:解niiniiXDnXnDXD121)(1)1()(--niiXnEXEnSE1222)()(11)(--ninnn12222)(11n22第二节抽样分布niiX122设X1,X2…Xn是来自总体N(0，1)的样本，称统计量服从自由度为n的分布，记为2).(~22n--其他00221)(2212yeynyfynn分布的概率分布密度为)(2n1、分布2)(yfyO1n5n15n)(~)(~),(~)1(2122221222122221221nnnn则相互独立与且如果分布具有以下性质:)(2n.2)(,)(),(~)2(2222nDnEn则有如果.)()()()}({),(~),10(22)(22222分位点分布的上为的点称满足条件设对于给定的正数nndyyfnPnn)(yfy)(2n)25(21.0382.34382.342)(}382.34{dyyfP1.005.0}{2P)10(205.0)10(205.0307.1805.01}{2-P)10(295.0)10(295.0940.3)(222)()}({ndyyfnP)(yfy)(2n)(12n--1-)}()({22/222/1nnP.1---)(21221)()}({ndyyfnP)(xzX～N(0,1),若满足条件zzdxxzXP)(}{称为标准正态分布的上分位点.z-1z9985.0}{2/zXP求标准正态分布的上分位点,.,2/zz=0.003,求）96.2(.96.22/z997.0}{zXP,75.2(）,75.2z2、t分布设X~N(0,1),Y~,且X与Y相互独立，则称随机变量nYXt服从自由度为n的t分布,记为t~t(n)。)(2nt(n)分布的概率密度函数为--tntnnnthn)1()2()21()(212)(thtO)(正态n1n10nt(n)分布的图形：t)(nt)(tht(n)分布的上分位点记为,满足：)(ntdtthnttPnt)()()}({-)(nt)(1nt-)}()({2/2/nttntP-)}({2/nttP.1-设且U与V相互独立，则称随机变量)(~),(~2212nVnU21//nVnUF服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F～F(n1，n2)--其他00)1()()2()2()]22[()(2211221212121211yynnynnnnnnnnynnn3、F分布概率密度函数为.)()},({),(2121dyynnFFPnnF的上分位点记为，即它满足),(21nnF),(21nnF)(yyO),(21nnFF~F(n1,n2),则~1F)},({1211nnFFP---}),(11{211nnFFP),(1211nnF-),(1),(12211nnFnnF-}),(11{1211nnFFP--}),(11{211nnFFP-性质证:),(12nnF).,(12nnF则为样本方差为设正态总体均值为,,,,212nXXXL/n)D()E(2XX例6.2设总体X~N(62,102),为使样本均值大于60的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?解/n),(~2NX60}{PX}/10062-60/10062{PnnX-95.0)64.1(1.64/1002n}/10062-60/10062{P-1nnX-)/1002-(1n-)/1002(n.24.76n5.设总体X~N(μ,42),X1,X2….X10为来自总体的一个样本,s2为样本方差,且P{s2a}=0.1,求a.解}4949{P222as)921.0（查表684.14)1(~)1(222--nSn)9(~49222SP{s2a}=0.114.684492a14.684492a26.105.a