样本及抽样分布(ppt73页)

第七章参数估计§1点估计§1点估计是待估参数。的形式为已知，的分布函数设总体);(xFX是相应的样本值。的一个样本，是nnxxXXX11点估计问题：。来估计未知参数，用它的观察值构造一个适当的统计量),,(ˆ),,(11nnxxXX。估计值为；称估计量的为我们称),,(ˆ),,(11nnxxXX返回主目录第七章参数估计§1点估计1.矩估计法),,,;(}{),,,;(11kkxPxXPXxfX分布列为为离散型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其设的样本。为来自，是待估参数其中XXXnk,,,,,11存在。设.,,2,1,klEXllnililXnA11则klAll,,1,令。，，从中解出方程组的解的联立方程组，，，个未知参数这里是包含kkkˆˆ11。矩估计法估计量的方法称为的估计量，这种求，，分别作为，，用kk11ˆˆ返回主目录第七章参数估计这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值称为矩估计值。例1设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从（用矩法）。试估计参数未知，有以下样本值；的泊松分布，参数为250126225490756543210knkk次着火天数发生着火的次数niiXXnAEX1111解：22.1)16901750(2501ˆ,xX则令返回主目录精品资料网第七章参数估计§1点估计。估计值所以22.1ˆ,X样本；是一个未知；设总体例nXXbabaUX,,,],,[~.21的矩估计量。求：ba,,21baEX解：niiXnAba1112令niiXnAbaab1222214)(12)(4)(12)()(22222baabEXDXEX返回主目录第七章参数估计§1点估计)(12,22121AAabAba即niiniiXXnXAAAbXXnXAAAa122121122122)(3)(3ˆ)(3)(3ˆ解得：返回主目录精品资料网第七章参数估计是一个样本；未知，又设，但都存在，且，方差的均值设总体例nXXX,,,0.3122的矩估计量。求：2,222221)(,EXDXEXEX解：,,2211AA令,,2221AA即,ˆ1XA所以212122122)(11ˆXXnXXnAAniinii返回主目录第七章参数估计§1点估计未知；特别，若22,),,N(~XniiXXnX122)(1ˆ,ˆ则2.极大似然估计法可能取值的范围。是为待估参数，的形式为已知，属离散型，其分布律若总体),;(}{).1(xpxXPX的联合分布律：的样本；则是来自设nnXXXXX,,,,11niixp1);(的一个样本值；是又设nnXXxx,,,,11发生的概率为：事件的概率，亦即取易知样本},,{,,,,1111nnnnxXxXxxXX返回主目录精品资料网第七章参数估计§1点估计)1.1(.,);();,,()(11niinxpxxLL。似然函数称为样本的的函数。它是)(L使得：即取的估计值，，作为达到最大的参数挑选使概率定由极大似然估计法：固ˆˆ);,,(;,,11nnxxLxx)2.1();,,(max)ˆ;,,(11nnxxLxxL。极大似然估计值的称其为参数有关，记为与);,,(ˆ,,ˆ11nnxxxx。极大似然估计量的称为参数),,(ˆ1nXX第七章参数估计§1点估计;),;().2(为待估参数的形式已知，属连续型，其概率密度若总体xfX的联合密度：则nXX,,1niixf1);(似为：维立方体）内的概率近的的邻域（边长分别为落在机点的一个样本值，则随是相应设ndxdxxxXXXXxxnnnnn,,),,(),,(,,,,11111)3.1();(1iniidxxf取到最大值。，使概率的估计值我们取)3.1(ˆ第七章参数估计§1点估计而变，故只需考虑：不随但iidx)4.1(,);();,,()(11niinxfxxLL。似然函数称为样本的的最大值，这里)(L);,,(max)ˆ;,,(11nnxxLxxL若。极大似然估计值的为则称),,(ˆ1nxx。极大似然估计量的为称),,(ˆ1nXX.0)();(),;(ddLxfxp可由下式求得：可微，故关于一般，返回主目录精品资料网第七章参数估计(1.5).0)(ln)(ln)(LddLL也可从下述方程解得：大似然估计的极处取到极值，因此在同一与又因个参数，若母体的分布中包含多.,,1,0ln.,,1,0kiLkiLii或即可令的极大似然估计值。个方程组求得解kk,,1§1点估计返回主目录第七章参数估计的一个样本，是来自设例XXXpBXn,,);,1(~.41试求参数p的极大似然估计量。的分布律为：是一个样本值。解：设Xxxn,,1;1,0,)1(}{1xppxXPxx故似然函数为,)1()1()(1111niiniiiixnxxxnipppppL).1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii而.01)(ln11pxnpxpLdpdniinii令返回主目录第七章参数估计§1点估计xxpnii1n1pˆ的极大似然估计值解得XXpnii1n1pˆ的极大似然估计量为-------它与矩估计量是相同的。返回主目录第七章参数估计的一个样本值，是来自为未知参数，设例XxxNXn,,,);,(~.5122的极大似然估计量。求：2,的概率密度为：解：X})(21exp{21),;(222xxf似然函数为：niixL1222})(21exp{21),(niixnnL122)(21)ln(2)2ln(2ln返回主目录精品资料网第七章参数估计0)()2(12n-0][10ln0ln21222122niiniixnxLL即：令niiniiXXnxxn1221)(1ˆ1ˆ解得：§1点估计返回主目录第七章参数估计是一个样本值，未知，设例nxxbabaUX,,,];,[~.61的极大似然估计量。求：ba,),,,max(),,,min(1)(1)1(nnnxxxxxx解：设X的概率密度为：其它,0;,1),;(bxaabbaxf,,,,,)()1(1bxxabxxann等价于因为其它,0;,,)(1),()()1(nnxbxaabbaL返回主目录第七章参数估计§1点估计有的任意对于满足baxbxan,,)()1(nnnxxabbaL)(1)(1),()1()(nnnxxxbxabaL)(,),()1()()()1(时，取最大值在即：的极大似然估计值为：故ba,,maxˆ,minˆ)()1(inixxbxxa的极大似然估计量为：故ba,,maxˆ,minˆiiXbXa返回主目录精品资料网第七章参数估计的极大似然估计。是则的极大似然估计；是具有单值反函数，的函数设性质：)()ˆ(ˆˆ),(uuuuu的极大似然估计是例：niiXXn122)(1)0(,)(2222uuuu有单值反函数的极大似然估计是故)(1ˆˆ122niiXXn返回主目录第七章参数估计§2估计标准§2估计量的标准.ˆ),,(ˆˆ.11EXXn且的数学期望存在，无偏性：若的无偏估计量。是则称ˆ).ˆD()ˆD(),,(ˆˆ),,(ˆˆ.221122111的无偏估计量；若都是，有效性：若nnXXXX有效。较则称21ˆˆ.ˆ),,(ˆˆ.311pnnXX时，当若对于任意的估计量为参数一致性：若的一致估计。是则称ˆ返回主目录精品资料网第七章参数估计§3区间估计§3区间估计区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。1.置信区间与置信度使得：找出统计量；对于样本含一待估参数定义：设总体,),2,1)(,,(,,,2111ixxxxXniin)10(,1}{21P。置信度为该区间的，置信区间的为，称区间1][21的可能性。表示该区间不包含真值的可靠程度。值给出该区间含真是一个随机区间；，区间1][21返回主目录第七章参数估计个左右。真值的有个左右，不包含真值的有个区间中包含次，则在得到的这时重复抽样，即置信度为例如：若595100100%.951%5通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%2.均值的区间估计。，的置信区间下，来确定在置信度的一个样本。为总体设][1),(~,,2121NXxxn(1).已知方差，估计均值。点估计，又知道的一个是，且知道设已知方差)1,0(~/101202Nnxuxnxnii§3区间估计返回主目录第七章参数估计.1}{:12121uP，使得，值临界，查正态分布表，找出对于给定的置信度-1}|uP{|],,[21使：称区间；通常我们取对，由此可找出无穷多组即：-1}-xP{-0n§3区间估计返回主目录第七章参数估计，得：找出查正态分布表,2/1)(0)-x(-n，可知：由由正态分布表的构造，1}|{|tP]x,-x[00nn推得，随机区间：。的概率包含它以1返回主目录第七章参数估计§3区间估计例6.已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;；，置信度为假设标准差%9570的置信区间。试求总体均值由样本值算得：解：已知.05.0,9,70n.115)110120115(91x，由此得置信区间：查正态分布表得临界值96.157.119,43.1109/796.1115,9/796.1115返回主目录第七章参数估计(2).未知方差，估计均值niixxn1222)(11S，这时可用样本方差：由于未知方差nSx/t而选取样本函数：则随机变量t服从n-1个自由度的t分布。§3区间估计，使得：与分布表，得临界值，查对于给定的211t，1}{21tP，使得：我们仍然取成对称区间1}|{|],,[tP返回主目录第七章参数估计.),,1(找出分布表查nttnS/-x-其中，n是样本容量，n-1是表中自由度；由此得：，可知：与分布表的构造，比较由1}|{|}|{|tPtPt，即1}/{nSxP§3区间估计返回主目录第七章参数估计§3区间估计]x,-x[nSn