化工数学(周爱月)习题解答——第6章

1化工数学（周爱月）习题解答——第六章6－2解：（a）2(34)(23)(232)(241)(23)ijkjikijk-+-+-=?-?++495ijk=-+（b）()(22)220ijij+-=-=（c）2(34)(23)234122()213ijkijkjikijk-+?-=-=++-（d）233333232[()][)]()(3)3)gradxyyzgradxyxyzyyzixyxzjxyzk+=+=++++（e）()0()0yxdivyixjxyz抖-?+=++=抖?（f）由书中p187例6-5知131()()rrrr--??-，所以2133335331()()()()3()330rrrrrrrrrrrrrr--------?蜒=?=-??=-++=-+=6－3解：（a）213013()()12102120114414xyzxyzxyzaaaabcabcbbbccc--?==-=-=----（b）()()()20cababcabc??=（c）()()()(2112)(2)(223)(4)819abcacbbacijkijkijk创=??=-++-+----+-=--2（d）()()()11(2)(124)(23)251510abcacbbcaijkijkijk创=??=-+----+-=--6－4解：记12234,22aijkaijk=++=+-12234148122ijkaaaijk=?=-++-0221(148)261(14)81aaaijka===-++-++∵1212cos090aaaaqq==??×6－5解：（1）证明三个向量共面的充分必要条件是()0ABC?①必要性：已知三个向量共面，设FBC=?，则F垂直于CB,所在的平面，即FA^（∵CBA,,共面）有0()0AFABC=薮=②充分性：已知()0ABC?，当0BC垂时，设FBC=?则cos0AFAFq=?∵0,0cos090AFqq构???即FA^所以CBA,,共面。（2）132132()1530850221085ABC--?-=-=--，三个向量共面。6－6解：3()()[()][()()]()()()()ABACABACAABBAACAAACAABCBAACBABC创=创=-=-=6－8解：参照6－6题，令其中第二个括号中的,AcCd==即可。6－9已知22222Rxyiyzjxyzk=-+，求在点(2，1，-2)处的2222RRxy抖´抖。解：222222,42RRyizjxzkxy抖==-+抖22222(2,1,2)2(2,1,2)(2,1,2)222222(2,1,2)2004832160423216165ijkRRyxyzjyzkjkxyzxzRRxy----轾抖犏?=--=-+犏抖臌-抖?+=抖6－12在t时刻，从原点到一动点的向量为cossinritjtww=+，其中ω为常数。（1）求动点速度v，并证明v垂直于r；（2）求加速度a，并证明其指向原点，且大小与原点到质点的距离成正比；（3）证明vr´是一常向量，因此动点的轨迹曲线处于某一平面内。解：（a）动点速度：(sincos)drvitjtdt==-+，(sincos)(cossin)0vritjtitjt=-++=∴vr^（b）动点加速度：22(cossin)dvaitjtrdt==-+=-矢径r的方向是由原点指向动点，而动点加速度a的方向与矢径r的方向相反，是由动点指向原点，其大小与矢径r的大小成正比；4（c）cossin0sincos0ijkrvttktt=-，为常向量。6－13解：222222432()Axyzxzixyjyzkxyzixyzjxyzkj=-+=-+3242()420Ayziyjkxzj¶=-+抖，32(2,1,1)()42Aijxzj-¶=-抖6－14解：（a）23234111()[()23]()3232Ruduuuiujkduuuiujukc=-+-=-+-+蝌（b）2223411111515()()3323262Ruduuuiujukijk轾犏=-+-=-+-犏臌ò6－15解：∵sincos0sincosijkrrAABAABqqqq?-=-，∴201()02rrdpq?ò6－16解：∵2222ddAdAdAdAdAAAAdtdtdtdtdtdt骣÷ç÷????ç÷ç÷ç桫∴22dAddAdAdAAdtAdtdAAcdtdtdtdtdt骣骣鼢珑鼢????珑鼢珑鼢珑桫桫蝌?6－17解：2322223(3)6(33)2xyyzxyixyzjyzkj??=+--(1,2,1)12916ijkj--?---6－18解：00222[(24)(8)]810MMxyzzixzjxyxzkijkj?++++=--022211(22)32(1)(2)llijk==--+-+-000(22)37(8410)33MMijklijkljj?-=逊=--?¶6－19求曲面222229,3xyzzxy++==+-在点（2，－1，2）处的夹角。5解：令22222129,3xyzxyzjj=++-=+--,则法向量11222(),22nxiyjzknxiyjkjj=?++=?+-在点（2，－1，2）处12(2,1,2)(2,1,2)424,42nijknijk--=-+=--1222222212(424)(42)8cos0.58193214(2)44(2)(1)54.420.302nnijkijknnqqp-+--====×+-++-+-=?6－20证明22()UvvUUvvU蜒-???。证明：2222()()()UvvUUvvUUvUvvUvUUvvU蜒-?蜒-蜒=蜒+?蜒-?=??6－21解：若v为管形场，则0v押[(3)(2)()]1120vxyiyzjxazkaa??+-++=++=+=∴2a=-6－22解：由式（6－66）得222222()()()()[(22)](22)(22)(22)2(22)22(1)AAAAAxyixzjyzkxyixzjyzkxyyxyixzjyzkyixjyixj汛汛=蜒-蜒=蜒-?=蜒-+-?+=?-?+=++-=+6－24解：一次作用：,AA蜒?二次作用：()0A蜒?()()yxzAAAAxyz¶¶¶蜒=?+=抖?6()()()AAA汛汛=蜒-蜒6－25求证：2(1)();(2)();(3)()().xvxvivxvxvivjjj??汛=汛+?蜒=蜒貉证明：（1）由式（6-45）：()xvxvvxxvvixviv????=?（2）由式（6-63）：()xvxvxvxviv汛=汛+汛=汛+?（3）设为直角坐标系2222222,ijkxyzxyz抖抖抖?++?++抖抖抖22222222222222()()()()[()()]()ijkijkxyzxyzxyzijkijkxyzxyzxyzjjjjjjjjjjjj抖抖抖蜒=++++抖抖抖抖?=++=?抖?抖抖抖蜒=++++抖抖抖抖?=++=?抖?∴2()()jjj蜒=蜒貉6－27解：（a）223322244334332()(2)(426)8262(43)AAyzixyjxzkxyzixzjxyzkxyzxyzxyzxyzyzxxzjj??-+++=-+=-+（b）7222222()()()(2)2()2()(2)xyzBABBBAxyzxyzxyyzixyjxzkxyzyxyzixyxzjxzzyk抖??++抖?抖?=++-+抖?=++-++（c）222222233233423()2[()(2)(2)](2)2(3)4(3)4()ijkAyzxyxzxyzxyxzixzyzjyzxykxyzzyxzyxxzxyzixyzzxyzjxyzzxykjj囱=-抖?抖?抖抖抖=--+-++抖抖抖=-++-++（d）2322323223233423(2)24262(3)4(3)4()ijkAAxyzyzxyxzxyzxzxyzxzxyzixyzzxyzjxyzzxykj囱=囱=-=-++-++6－28解：验证平面格林定理：lDQPPdxQdydxdyxy骣抖÷ç+=-?ç÷ç÷ç抖桫蝌?闭曲线C的图形见右图。xy0(1，1)xy2xy82221022220110343222011143254300()()()(2)()13131(33)1545420lcyxyxPdxQdyxyydxxdyxyydxxdyxyydxxdyxxxdxxxxdxxxxdxxxx==+=++轾轾=+++++犏犏犏犏臌臌=+++++骣÷ç=+-=+-=+-=-÷ç÷ç桫蝌蝌蝌ò()221120011223443001540[2(2)](2](2)()()()11111545420DDDxxxxQPdxdyxxydxdyxydxdyxyxydydxxyydxxxxxdxxxdxxx骣抖÷ç-?+=-ç÷ç÷ç抖桫轾轾=-=-犏犏犏臌臌轾=---=-犏臌骣÷ç=-=-=-÷ç÷ç桫蝌蝌蝌蝌?蝌＝左边＝右边，证毕。6－29求椭圆cos,sinxaybqq==的面积。解：矢径rxiyj=+，由散度定理的二维形式（6－53）得20202(coscossinsin)2SSxydxdydxdyxdyydxxyabbadabdabppqqqqqqp骣抖÷ç=+?-ç÷ç÷ç抖桫=??==蝌蝌?òò∴Sdxdyabp=蝌6－30解：24Fxziyjyzk=-+，424Fzyyzy逊=-+=-，由散度定理得911111000001112000(4)(4)(2)133(2)222DDFndFdzydzydxdydzydydxyydxdxsstt=?-=-=-=-==蝌蝌蝌蝌蝌蝌?蝌6－31解：验证散度定理DFndFdsst=?蝌蝌?（1）左边，对1x=的曲面，ni=，11111114xxFndFidydzdydzsss==--===蝌蝌蝌对1x=-的曲面，ni=-，111111(1)4xxFndFidydzdydzsss=-=---==--=蝌蝌蝌∴1448xFndss=?=+=蝌，同理，对1,1yz=??曲面，也有118yzFndFndssss=??==蝌蝌，即3824Fndss=?蝌（2）右边111111333824DDFndFddxdydzdsstt---??==?蝌蝌蝌蝌蝌?左边＝右边，证毕。6－40解：（a）22(33)6vxyixyjj=?--2203360ijkvxyzxyxy抖?汛==抖?--∴32(,)3xyxxyj=-是速度势。10（b）222222(33)(6)3()vxyxyxy=-+-=+（c）由P207的式（6－128）知22222323236(33)6(33)(,)3(0,0)00(,)3(,)3yxyxvivjxyixyjdvdxvdyxydxxydyxyxyyccxyxyyxyxyycyyyyyy?-+=+-=-+=+-=-+=\==-=-=（d）