高等代数考研复习[二次型]

高等代数考研复习二次型2014年8月第四章二次型二次型理论的背景是解析几何中化二次曲线和二次曲面的方程为标准形的问题.本章主要问题有两个：1)二次型矩阵和二次型的标准型2)正定二次型二次型与矩阵、行列式、以及线性方程组有紧密的联系，可以看到他们是处理二次型问题的工具.1.二次型矩阵与二次型的标准型1.1二次型及其矩阵1)定义：设P是数域,系数在数域P上的关于的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型.2)二次型的矩阵表示：令12,,,nxxx212111121211222222211(,,,)222,.nnnnnnnnnnijijijjiijfxxxaxaxxaxxaxaxxaxaxxaa12,(,,)nXxxx利用积和式可将二次型化为矩阵形式其中，矩阵满足称它为二次型的矩阵.积和式为：它在代数式与矩阵互化中起着重要的作用！12(,,,)nfxxxXAXA.AA12112212,,,nnnnbbabababaaab注意：如果但是那么A不是二次型的矩阵.f的矩阵为1.2线性替换及矩阵的合同1)线性替换：设令称为由到的线性替换.当时，称为非退化线性替换；当C是正交矩阵时称为正交替换.结论：非退化线性替换将二次型变为二次型.fXAX,AA1().2AA12(,,,)nYyyyXCY12,(,,)nXxxx12,,,nxxx12,,,nyyy||0C().XCYfXAXYCACYYBY2)矩阵的合同：设A、B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C使得则称矩阵A与合同.合同是一种等价关系，它具有三性.合同的性质：合同矩阵有相同的秩；合同矩阵的行列式同号.结论：二次型经过非退化线性替换得到的新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.1.3二次型的标准型与规范形1)二次型标准型定义：只含有平方项的二次型称为标准型.其中,CACB2221122nnfdxdxdx中非零的个数即为二次型的秩.定理：数域P上的任意二次型都可经过非退化线性替换化为标准形.换一种说法：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵.注意：二次型的标准型一般不唯一！(1,2,,)idin2)二次型的规范形：复数域与实数域上的二次型的标准型称为规范形.a)复数域上二次型的规范形：复数域上任意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形其中且规范形唯一.换为矩阵说法：复数域上任意一个n阶对称矩阵A都合同于唯一的n阶对角矩阵复数域上两个对称矩阵合同的充分必要条件是这两个矩阵的秩相等.22212XCYrfyyy()rA0.00rEb)实数域上二次型的规范形(惯性定理)：实数域上任意一个二次型都可经过非退化替换化为规范形其中，正平方的个数p称为二次型f的正惯性指数，负平方项的个数称为f的负惯性指数，称为符合差，且p、q有二次型唯一确定.用矩阵语言描述为：实数域上任意一个对称矩阵A都合同于唯一的n阶对角矩阵2221XCYprfyyy()rAqrppq()rApq.0prpEE注意：实数域上的两个对称矩阵合同的充分必要条件是这两个矩阵有相同的秩与正惯性指数.1.4化二次型为标准型的方法a)配方法；b)初等变换法；设是对称矩阵，故存在可逆矩阵使由可逆知，存在初等矩阵使得于是A,C12.nddCACDdC12,,,,sPPP12,sCPPP122112.ssnddPPPAPPPDd这样，将二次型化为标准形fXAX2221122nnfdydydy时所用线性变换XCY中的系数矩阵满足且C2112.ssPPPAPPPD12sEPPPC由此可见，对的列和行施以相同的初等列变换和行变换，当二次型的矩阵化为对角矩阵时，AEAD单位矩阵就成了相应的可逆线性变换的矩阵了，即ECADECc)正交变换法.正交变换法的步骤：(1)先求出矩阵A的特征值、特征向量，其中特征值就是标准型中的系数.(2)将A的属于同一特征值的特征向量单位化正交化，然后将它们作为列向量做成矩阵T，即为正交矩阵，此时有12nλλTAT=.λ题型分析:(1)化二次型为标准型；(2)矩阵合同的应用；(3)惯性定理的应用.例1用配方法化二次型为标准形(1)(2)例2将化为标准型.例3用正交变换化二次型为标准形方法：对二次型做正交替换其中T为正交矩阵，得标准型222123121323422.fxxxxxxxxx1213243433.fxxxxxxxx222122331()()().fxxxxxx222123121323552844.fxxxxxxxxxfXAXXTY2221122.XTYnnfXAXyyy这里是矩阵A的特征值..例4已知经过正交变换化为求a及所做的正交变换.例5已知的秩为2，(1)求a(2)用正交变换将f化为标准型(3)求方程的解.i222123232332(0).fxxxaxxa22212325.fyyy22212312(1)(1)22(1)faxaxxaxx123(,,)0fxxx例6设实二次型(1)写出f的矩阵.(2)证明：f的秩等于矩阵的秩.例7证明：是一个二次型，并求它的矩阵.21211221(,,,)sniiinnifxxxaxaxax1111nssnaaAaa12111121121222120nnnnnnnnxxxxaaaxaaafxaaa(2)矩阵合同的应用例1证明：秩等于r的对称矩阵可以表示成r个秩等于1的对称矩阵之和.例2设A是n阶是对称矩阵，A的特征值是，求B的特征值.例3反对称矩阵的性质(1)A是反对称矩阵的充分必要条件是：对任意的n维向量X都有(2)A是反对称矩阵，则A的特征值只能为零0,0ABA12,,,n0.XAX0110011000和纯虚数.(3)奇数阶反对称矩阵一定不可逆.(4)证明：任意反对称矩阵一定合同于矩阵(3)惯性定理的应用例1证明：一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0或秩等于1.例2设A为一个n阶实对称矩阵，且证明：存在实n维列向量使得例3设是一个实二次型，若存在n维向量使得证明：||0.A00,X000.XAX12(,,,)nfxxxXAX12,XX11220,0XAXXAX0000=0.XXAX使例4设A是n阶是对称矩阵，证明：存在一个正实数C，使得对任意一个n维实列向量X，都有例5设n元实二次型证明f在条件下的最大值恰为A的最大特征值，并求出取得最大值时的||.XAXcXX12(,,,)nfxxxXAX222121nxxx0.X2.正定二次型与正定矩阵2.1有关定义：设是n元实二次型，如果对任意一组不全为零的实数都有则称f为正定二次型，对应的矩阵称为正定矩阵.二次型正定的充分必要条件是：矩阵正定.同样可以定义半正定二次型；负定二次型；半负定二次型以及不定二次型.12(,,,)nfxxxXAX12,,,nccc12(,,,)0,nfcccA12(,,,)nfxxxXAXA2.2正定二次型与正定矩阵的判定：设n元实二次型其中,则下列条件等价：a)f是正定二次型(A是正定矩阵);b)对任意,都有c)f的正惯性指数等于n;d)A合同于单位矩阵E;即存在可逆矩阵C使得e)A的所有顺序主子式都大于零;f)A的所有主子式都大于零;正定阵主对角元大于零.g)A的特征值都大于零;12(,,,)nfxxxXAXAA0X0.XAX;ACC2.3半正定二次型(半正定矩阵)的判定：下列条件等价a)f是半正定二次型;b)对任意一组不全为零的实数c)f的正惯性指数等于A的秩;d)A合同于e)A的所有主子式都不小于零;f)A的特征值都不小于零;e)存在实矩阵P,使得12,,,nccc12(,,,)0;nfccc0,00rE.APP正定矩阵的性质：(1)正定矩阵主对角线上的元素全部大于0，正定矩阵的行列式大于零.(2)A正定，则也正定.(3)则也正定.(4)若正定，且则正定.(5)设A为矩阵，若那么是正定的.特别，当A可逆时，是正定的.1*(0),,,kAkAAA,ABAB,ABABBAABnm(),rAmAAAA当那么是半正定的.题型分析：(1)二次型正定性的判别例1判别二次型的正定性a)b)例2设当满足什么条件，f是正定的.例3设A,B分别是m,n阶正定矩阵，试判别矩阵()(),rAmmnAA12111.nniiiiifxxx211.niijiijnfxxx2221122231()()()nnfxaxxaxxax12,,,naaa的正定性.例4设A为m阶正定矩阵，B为实矩阵，证明：正定的充分必要条件为B是列满秩的.题型(2)二次型（矩阵）正定性质的应用主要应用结论：A为实对称矩阵，则存在正交阵T使得00ACBmnBAB121nTATTAT例1设A,B是n阶实对称矩阵，且A正定，证明：存在一个实可逆矩阵T，使得同时为对角矩阵.例2设A是n阶正定矩阵，证明：例3设A,B都是n阶正定矩阵，证明：例4设A,B都正定，证明：1)方程的根都大于零.2)方程的所有根等于1的充分必要条件是A=B.,TATTBT||1.AE||||||.ABAB||0AB||0AB例6若B是正定矩阵，A-B半正定，证明：1)的所有根都大于等于1.2)题型(3)与对称矩阵特征值范围有关的问题例1设A是实对称矩阵，证明：t充分大时，tE+A正定.例2证明：实对称矩阵A的特征值均在闭区间上，则对称矩阵A-tE当tb时负定；当ta||0AB||||.AB[,]ab时正定.例3设实对称矩阵A的特征值全大于a，实对称矩阵B的特征值全大于b，证明：A+B的特征值全大于a+b.例4设A是n阶实矩阵，B的特征值为证明：若是A的实特征值，则,BAA12.n1||.n题型(4)综合题例1证明：矩阵A是n阶正定矩阵的充分必要条件是存在n阶正定矩阵B使得例2设A为n阶实对称矩阵，若A是正定矩阵又是正交矩阵，则A=E.例3证明：1)如果A为正定矩阵，那么是负定二次型.2)如果A是正定矩阵，那么是A的n-1阶顺序主子式.2.AB12(,,,)0nAYfyyyY1||,nnnAaP1nP3)上式推广为4)如果是n阶实可逆矩阵，那么1122||.nnAaaa()ijTt2222121||().niiniiTttt