第5章抽样与参数估计

5-1成人教育系列统计学基础第5章抽样与参数估计作者：中国人民大学统计学院贾俊平5-2成人教育系列统计学基础第5章抽样与参数估计5.1抽样与抽样分布5.2参数估计的基本方法5.3总体均值的区间估计5.4总体比例的区间估计5.5样本容量的确定5-3成人教育系列统计学基础学习目标1.理解抽样方法与抽样分布2.估计量与估计值的概念3.点估计与区间估计的区别4.总体均值的区间估计方法5.总体比例的区间估计方法6.样本容量的确定方法5-4成人教育系列统计学基础参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计5-5成人教育系列统计学基础5.1抽样与抽样分布一.什么是抽样推断二.概率抽样方法三.抽样分布5-6成人教育系列统计学基础统计推断的过程样本总体样本统计量例如：样本均值、比例、方差5-7成人教育系列统计学基础抽样方法5-8成人教育系列统计学基础抽样方法简单随机抽样分层抽样整群抽样系统抽样多阶段抽样概率抽样方便抽样判断抽样自愿样本滚雪球抽样配额抽样非概率抽样抽样方式5-9成人教育系列统计学基础概率抽样(probabilitysampling)1.也称随机抽样2.特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率5-10成人教育系列统计学基础简单随机抽样(simplerandomsampling)1.从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的2.最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础3.特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便4.局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率5-11成人教育系列统计学基础分层抽样(stratifiedsampling)1.将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本2.优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计5-12成人教育系列统计学基础整群抽样(clustersampling)1.将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查2.特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差5-13成人教育系列统计学基础系统抽样(systematicsampling)1.将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位2.优点：操作简便，可提高估计的精度3.缺点：对估计量方差的估计比较困难5-14成人教育系列统计学基础抽样分布5-15成人教育系列统计学基础1.在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布2.是一种理论分布3.随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等4.结果来自容量相同的所有可能样本5.提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据抽样分布(samplingdistribution)5-16成人教育系列统计学基础抽样分布(samplingdistribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本5-17成人教育系列统计学基础样本均值的抽样分布5-18成人教育系列统计学基础1.容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布2.一种理论概率分布3.进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布5-19成人教育系列统计学基础样本均值的抽样分布(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差5.21NxNii25.1)(122NxNii5-20成人教育系列统计学基础样本均值的抽样分布(例题分析)现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）5-21成人教育系列统计学基础样本均值的抽样分布(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）X样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.55-22成人教育系列统计学基础样本均值的分布与总体分布的比较(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X5.2X625.02X5-23成人教育系列统计学基础样本均值的抽样分布与中心极限定理=50=10X总体分布n=4抽样分布Xn=165x50x5.2x当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)5-24成人教育系列统计学基础中心极限定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布xn中心极限定理：设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体xX5-25成人教育系列统计学基础抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布5-26成人教育系列统计学基础1.样本均值的数学期望2.样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布(数学期望与方差))(XEnX22122NnNnX5-27成人教育系列统计学基础样本均值的抽样分布(数学期望与方差)比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n为样本数目MnMXnixiX222122625.016)5.20.4()5.20.1()(5.2160.45.10.11MXniiX5-28成人教育系列统计学基础样本比例的抽样分布5-29成人教育系列统计学基础1.总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比2.总体比例可表示为3.样本比例可表示为比例(proportion)NNNN101或nnPnnP101或5-30成人教育系列统计学基础1.容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布2.当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似3.一种理论概率分布4.推断总体总体比例的理论基础样本比例的抽样分布5-31成人教育系列统计学基础1.样本比例的数学期望2.样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布(数学期望与方差))(PEnP)1(21)1(2NnNnP5-32成人教育系列统计学基础5.2参数估计的基本方法一.估计量与估计值二.点估计与区间估计5-33成人教育系列统计学基础估计量与估计值5-34成人教育系列统计学基础1.估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量2.参数用表示，估计量用表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)ˆ5-35成人教育系列统计学基础点估计与区间估计5-36成人教育系列统计学基础参数估计的方法矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计5-37成人教育系列统计学基础点估计(pointestimate)1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等5-38成人教育系列统计学基础区间估计(intervalestimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限5-39成人教育系列统计学基础区间估计的图示X95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xXXzX25-40成人教育系列统计学基础1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平5-41成人教育系列统计学基础1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间(confidenceinterval)5-42成人教育系列统计学基础置信区间与置信水平均值的抽样分布(1-)%区间包含了%的区间未包含x1-/2/2xX5-43成人教育系列统计学基础影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.置信水平(1-)，影响z的大小nX5-44成人教育系列统计学基础5.3总体均值的区间估计一.正态总体且方差已知，或正态总体，方差未知、大样本二.正态总体，方差未知、小样本5-45成人教育系列统计学基础一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2XP2S5-46成人教育系列统计学基础总体均值的区间估计(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)5-47成人教育系列统计学基础总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)(22未知或nszxnzx重复抽样不重复抽样)(1122未知或NnNnszxNnNnzx5-48成人教育系列统计学基础总体均值的区间估计(例题分析)【例】某种零件的长度服从正态分布，从某天生产一批零件中按重复抽样方法随机抽取9个，测得其平均长度为21.4cm。已知总体标准差为=0.15cm。试估计该批零件平均长度的置信区间，置信水平为95%解：已知：=0.15cm，n=9，x=21.4，1-=95%915.096.14.212nzx即：21.4±0