泛函分析第二讲

力学中的泛函分析与变分原理研究生课程大连理工大学工程力学系授课教师：郭旭教授第二讲：线性赋范空间课程回顾线性空间的定义：设𝔼为非空集合，如果(1)对于𝔼中任意两个元素𝑥和𝑦,均对应𝔼中的一个元素，称为𝑥与𝑦的和，记作𝑥+𝑦;(2)对于𝔼中任一元素𝑥和任一实数𝜆,均对应于𝔼中一个元素，称为𝑥与𝜆的数乘，记为𝜆𝑥;(3)上述两种运算满足下列运算规律（𝑥,𝑦,𝑧为𝔼中任意元素，𝜆和𝜇为任意实数）a)𝑥+𝑦=𝑦+𝑥b)𝑥+𝑦+𝑧=𝑥+𝑦+𝑧c)𝔼中存在唯一的‘零元素’𝑶，满足𝑥+𝑶=𝑥,∀𝑥∈𝔼;且∀𝑥∈𝔼,存在唯一的‘负元素’−𝑥∈𝔼,满足𝑥+−𝑥=𝑶d)𝜆𝜇𝑥=𝜆𝜇𝑥e)1⋅𝑥=𝑥,0⋅𝑥=𝑶f)𝜆𝑥+𝑦=𝜆𝑥+𝜆𝑦g)𝜆+𝜇𝑥=𝜆𝑥+𝜇𝑥称𝔼是线性空间，线性空间中的元素也可称为点。课程回顾空间的基及维数设𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛𝑛≥1是线性空间𝔼中𝑛个元素,如果存在不全为零的常数𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛使得𝜆1𝑥1+𝜆2𝑥2+⋯+𝜆𝑛𝑥𝑛=𝑶,则称𝑥1,𝑥2,…𝑥𝑛是线性相关的。反之，当且仅当𝜆1=𝜆2=⋯=𝜆𝑛=0使得等式成立，则称𝑥1,𝑥2,…𝑥𝑛是线性无关的。如果线性空间𝔼中存在𝑛个线性无关的元素𝑒1,𝑒2,…,𝑒𝑛使得𝔼中任一元素𝑥均可以表示成𝑥=𝜉𝑖𝑒𝑖𝑛𝑖=1,则称𝑒1,𝑒2,…,𝑒𝑛为空间𝔼的一组基底，也称𝔼是由𝑒1,𝑒2,…,𝑒𝑛所构成的空间。𝑛称为空间的维数，记为dim𝔼=𝑛.而𝔼称为有限维（𝑛维）线性空间。空间ℝ𝑛,𝕄𝑚𝑛,ℙ𝑛都是有限维空间，而𝐶𝑎,𝑏与𝐶𝑘𝑎,𝑏则是无穷维的。§1.1线性空间线性空间的同构设𝕏和𝕏是两个线性空间,如果𝕏和𝕏之间存在一一对应关系𝒯(对任意元素𝑥∈𝕏,均有唯一的元素𝑥∈𝕏与之对应，记为𝑥=𝒯𝑥;反之，对于任意𝑥∈𝕏，均有唯一的𝑥∈𝕏,满足𝒯𝑥=𝑥),使得对任意的𝑥,𝑦∈𝕏,及任意实数𝜆,均有等式𝒯𝑥+𝑦=𝒯𝑥+𝒯𝑦𝒯𝜆𝑥=𝜆𝒯𝑥则称空间𝕏和𝕏是线性同构的，简称同构，而𝒯称为同构映射。1§1.1线性空间子空间设𝕃是线性空间𝔼的子集，如果对于任意𝑥,𝑦∈𝕃及任意实数𝜆,𝜇,均有𝜆𝑥+𝜇𝑦∈𝕃,则称𝕃是𝔼的一个子空间。子空间本身也是一个线性空间，且必包含零元素。设𝔼是线性空间，𝕃1和𝕃2是𝔼中的两个子空间,如果𝔼中任意元素均可唯一的表示为𝑥=𝑥1+𝑥2,其中𝑥1∈𝕃1,𝑥2∈𝕃2,则称𝔼是𝕃1和𝕃2的‚直和‛，记作：𝔼=𝕃1⊕𝕃2,且𝕃1和𝕃2称为互补子空间。线性空间𝕃1和𝕃2的和是‚直和‛的充分必要条件是𝕃1∩𝕃2=𝑶,这时任意的𝑥1∈𝕃1,𝑥2∈𝕃2都是线性无关的。2§1.1线性空间线性流形设𝕃是线性空间𝔼的子空间，𝑥0∈𝔼\𝕃,则集合𝑥0+𝕃=𝑥0+𝑙;𝑙∈𝕃称为𝔼的一个流形。线性流形的维数是指它所对应的子空间𝕃的维数。𝑚维流形是指这空间中的一个点集，其中点的坐标能用𝑚个任意参数表示：𝑥𝑘=𝑥𝑘𝑡1,𝑡2,…,𝑡𝑚,𝑘=1,2,…,𝑛流形是曲线和曲面概念的推广。设𝑛元线性代数方程组𝐀𝑠×𝑛𝝃𝑛×1=𝒃𝑠×1有解，其系数矩阵的秩为𝑟,则其解的全体是ℝ𝑛中的一个𝑛−𝑟维线性流形。对与非其次常微分方程也有类似的结论：𝑦𝑛+𝑎1𝑡𝑦𝑛−1+⋯+𝑎𝑛𝑡𝑦=𝑓𝑡解的全体构成了线性空间𝐶𝑎,𝑏的一个线性流形。（其中𝑎𝑖𝑡,𝑓𝑡∈𝐶𝑎,𝑏）3§1.1线性空间线性空间中的凸集设𝕄是线性空间𝔼的一个集合，如果对任意𝑥,𝑦∈𝕄及𝜆+𝜇=1,𝜆≥0,𝜇≥0,均有：𝜆𝑥+𝜇𝑦∈𝕄1.1.1则称𝕄是𝔼中的凸集。(1.1.1)可改为𝜆𝑥+1−𝜆𝑦∈𝕄,𝜆∈0,11.1.2若𝔼=ℝ2,则当𝜆取遍0,1中的数值时，𝜆𝑥+1−𝜆𝑦表示连接𝑥,𝑦这两点的直线段。因此从直观上看ℝ2中的凸集就是通常的凸几何图形。4§1.2距离空间距离空间设𝕏为非空集合，若对于𝕏中的任意两个元素𝑥,𝑦,均有一个实数与之对应，此实数记为𝑑(𝑥,𝑦)，它满足：(1)非负性：𝑑𝑥,𝑦≥0;且𝑑(𝑥,𝑦)=0的充要条件是𝑥=𝑦(2)对称性：𝑑(𝑥,𝑦)=𝑑𝑦,𝑥(3)三角不等式：𝑑𝑥,𝑦≤𝑑𝑥,𝑧+𝑑𝑦,𝑧,其中𝑧是𝕏中任意元素则称𝑑(𝑥,𝑦)为𝑥,𝑦的距离，称𝕏是以𝑑为距离的‚距离空间‛。欧氏空间：定义了距离的向量空间称为欧氏空间。设𝑥𝑛𝑛=1∞是距离空间𝕏,𝑑中的元素序列，如果𝕏,𝑑中有元素𝑥满足：lim𝑛→∞𝑑𝑥𝑛,𝑥=0则称𝑥𝑛是收敛序列，𝑥称为它的极限，记为𝑥𝑛→𝑥.推论：如果序列𝑥𝑛有极限，则极限唯一。因为如果𝑥与𝑦都是𝑥𝑛的极限，则有0≤𝑑𝑥,𝑦≤𝑑𝑥,𝑥𝑛+𝑑𝑦,𝑥𝑛.于是有𝑑(𝑥,𝑦)=0,即𝑥=𝑦.5谢谢大家！欢迎提问！研究生课程§1.2距离空间开集、闭集设𝑟为一正数，集合𝑆𝑟𝑥0=𝑥∈𝕏;𝑑𝑥,𝑥0𝑟称为距离空间𝕏,𝑑中的球形邻域，简称为球。𝑥0称为𝑆𝑟𝑥0的中心，𝑟称为半径。设𝕏,𝑑为距离空间，𝕄是其中一个子集，𝑥0∈𝕄.如果存在关于𝑥0的球形邻域𝑆𝑟𝑥0,满足𝑆𝑟𝑥0⊂𝕄,则称𝑥0是集合𝕄的内点。如果𝕄的所有元素都是𝕄的内点，则𝕄是开集。设𝕄⊂𝕏,𝑑,𝑥0∈𝕏,如果任一包含𝑥0的球𝑆𝑟𝑥0中总含有集合𝕄的异于𝑥0的点，则称𝑥0是集合𝕄的聚点（或极限点）。令𝕄⊂𝕏,𝑑的所有聚点所构成的集合为𝕄′,则集合𝕄=𝕄⋃𝕄′称为𝕄的闭包。如果集合𝕄满足𝕄⊃𝕄,则称集合𝕄为闭集。6§1.3线性赋范空间范数、线性赋范空间设𝔼是线性空间，如果对𝔼中的任一个元素𝑋,都对应于一个实数，记为𝑋且满足：(i)𝑋≥0,当且仅当𝑋=𝑶时𝑋=0;(ii)𝜆为实数，𝜆𝑋=𝜆𝑋;(iii)𝑋+𝑌≤𝑋+𝑌,∀𝑋,𝑌∈𝔼则称𝑋为元素𝑋的范数，𝔼称为按范数⋅的线性赋范空间。设⋅1和⋅2是线性赋范空间中的两种范数，如果存在常数𝛼0和𝛽0使得∀𝑋∈𝔼,均有𝛼𝑋1≤𝑋2≤𝛽𝑋1则称两种范数是等价的，简记为⋅1~⋅2.7§1.3线性赋范空间等距同构、等价设𝕏和𝕏是两个线性赋范空间，对应范数分别为⋅𝕏和⋅𝕏.如果𝕏和𝕏存在一个同构映射𝜑:𝑥=𝜑𝑥,𝑥∈𝕏,𝑥∈𝕏.它还满足：𝜑𝑥𝕏=𝑥𝕏则称空间𝕏和𝕏是等距同构的，或等价的。在泛函分析中，常把等距同构空间是为等同的空间。8§1.4巴拿赫空间基本序列（Cauchy列）设𝕏为线性赋范空间，𝑥𝑛𝑛=1∞是𝕏中的无穷序列，如果对于任给的𝜀0总存在自然数𝑁,使得𝑛𝑁时，对于任意自然数𝑝,均有𝑥𝑛+𝑝−𝑥𝑛𝜀则称序列𝑥𝑛是𝕏中的基本序列（也称为基本列、Cauchy列）。由定义可知，𝕏中的任何收敛序列都是基本序列，但基本序列却不一定收敛。Banach空间如果线性赋范空间𝕏中的任何基本序列都收敛于𝕏中的元素，则称𝕏为完备的线性赋范空间，或称为Banach空间。任一有限维线性赋范空间必为Banach空间。任一线性赋范空间的有限维子空间是闭的。9