少儿安全知识讲座

-1-第三节函数的奇偶性与周期性【考纲下载】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义特点偶函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数f(－x)＝f(x)奇函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数f(－x)＝－f(x)2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．1．若函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上有奇偶性，则实数a，b之间有什么关系？提示：a＋b＝0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)为何值？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．4．若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f(x)的周期．-2-1．(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：选C函数y＝x3，y＝2sinx为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2.2．(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.3．(2013·湖北高考)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数解析：选D函数f(x)＝x－[x]在R上的图象如下图：故f(x)在R上为周期函数．4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－a－42，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－a－42＝0，解得a＝4.答案：45．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝________.解析：∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f－52＝－f52＝－f52－2＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.答案：－12-3-考点一函数奇偶性的判断[例1](1)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数(2)下列函数：①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋x2＋1)；④f(x)＝ln1－x1＋x.其中奇函数的个数是()A．1B．2C．3D．4[自主解答](1)由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．(2)①f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x2＋x2－1既是奇函数又是偶函数；②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；③由x＋x2＋1＞x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋x2＋1)的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋－x2＋1)＝ln1x＋x2＋1＝－ln(x＋x2＋1)＝－f(x)，则f(x)＝ln(x＋x2＋1)为奇函数；④由1－x1＋x＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝ln1－x1＋x的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln1＋x1－x＝ln1－x1＋x－1＝－ln1－x1＋x＝－f(x)，则f(x)为奇函数．[答案](1)B(2)D【互动探究】若将本例(2)中①对应的函数改为“f(x)＝1－x＋x－1”，试判断其奇偶性．解：∵函数f(x)＝1－x＋x－1的定义域为{1}，不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．-4-【方法规律】判断函数奇偶性的方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．(2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝－x2|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x，x＜0，－x2＋x，x＞0.解：(1)由1＋x≠0，1－x1＋x≥0得，定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)由1－x2＞0|x－2|≠2得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝－x2－x.又∵f(－x)＝lg[1－－x2]x＝－－x2－x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．考点二函数奇偶性的应用[例2](1)(2013·湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1(2)(2013·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，-5-则f(lg(lg2))＝()A．－5B．－1C．3D．4(3)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．[自主解答](1)由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有－f＋g＝2，f＋g＝4，解得g(1)＝3.(2)∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又∵lg(log210)＝lg1lg2＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg2))＝5，又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.(3)∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数．∴当a＞0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，当a＜0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．[答案](1)B(2)C(3)(－∞，－2]∪[2，＋∞)【互动探究】若本例(3)中的f(x)为奇函数，求实数a的取值范围．解：因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在R上为减函数．又f(a)≥f(2)，故a≤2，即实数a的取值范围为(－∞，2]．【方法规律】与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．-6-1．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.12(ex＋e－x)C.12(e－x－ex)D.12(ex－e－x)解析：选D∵f(x)＋g(x)＝ex，①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x.又∵f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)－g(x)＝e－x.②由①②得fx＋gx＝ex，fx－gx＝e－x，解得g(x)＝12(ex－e－x)．2．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.考点三函数的周期性[例3]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．2012[自主解答]由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.[答案]B【方法规律】函数周期性的判定判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．-7-解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f32＝f－12，且f(－1)＝f(1)，故f12＝f－12，所以12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.答案：－10高频考点考点四函数性质的综合应用1．高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．2．高考对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度：(1)单调性与奇偶性相结合；(2)周期性与奇偶性相结合；(3)单调性、奇偶性与周期性相结合．[例4](1)(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1xB．y＝e－xC