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-1-第四节垂直关系【考纲下载】1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题.1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直,那么称这条直线与这个平面垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,,,,ababOlalb⇒l⊥α性质定理若果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,ab⇒a∥b2.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.3.平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,ll⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面,,,lala⇒l⊥α1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,那另一条与此平面是否垂直?提示:垂直.2.如果两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行吗?提示:不一定.可能平行、相交或异面.3.垂直于同一平面的两平面是否平行?提示:不一定.可能平行,也可能相交.4.垂直于同一条直线的两个平面一定平行吗?提示:平行.可由线面垂直的性质及面面平行的判定定理推导出.-2-1.(教材习题改编)给出下列四个命题:①垂直于同一平面的两条直线相互平行;②垂直于同一平面的两个平面相互平行;③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:选B①④正确.2.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系为()A.bαB.b∥αC.bα或b∥αD.b与α相交解析:选C∵a⊥b,a⊥α,∴b∥α或bα.3.(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC,PA、AC、BD,则一定互相垂直的平面有()A.8对B.7对C.6对D.5对解析:选B由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对.4.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”).解析:设α∩β=l,则当mα,且m⊥l时,有m⊥β,否则m不垂直β,故α⊥β⇒/m⊥β;反之,若mα,m⊥β,则α⊥β.答案:必要不充分5.(教材习题改编)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,∠DAB=________.解析:如图所示,取AC的中点O,连接OD,OB,DB,由条件知,OD⊥OB,设AD=1,则OD=OB=22,所以DB=OD2+OB2=1.所以△ADB为正三角形,故∠DAB=60°.答案:60°高频考点考点一直线与平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容,题型多为解答题,难度适中,属中档题.2.高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度:-3-(1)同真假命题的判断相结合考查;(2)以多面体为载体,证明线面垂直问题;(3)以多面体为载体,考查与线面垂直有关的探索性问题.[例1](1)(2013·浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β(2)(2013·广东高考)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥ABCF,其中BC=22.①证明:DE∥平面BCF;②证明:CF⊥平面ABF;③当AD=23时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.[自主解答](1)设直线aα,bα,a∩b=A,∵m⊥α,∴m⊥a,m⊥b.又n∥m,∴n⊥a,n⊥b,∴n⊥α.(2)①证明:在等边三角形ABC中,AB=AC.∵AD=AE,∴ADDB=AEEC,∴DE∥BC,∴DG∥BF,又BF平面BCF,DG⊄平面BCF,∴DG∥平面BCF.同理可证GE∥平面BCF.∵DG∩GE=G,∴平面GDE∥平面BCF,又DE平面GDE,∴DE∥平面BCF.②证明:在等边三角形ABC中,F是BC的中点,∴AF⊥CF,∴BF=FC=12BC=12.在图2中,∵BC=22,∴BC2=BF2+FC2,∴∠BFC=90°,∴CF⊥BF.∵BF∩AF=F,BF平面ABF,AF平面ABF,∴CF⊥平面ABF.③∵AD=23,∴BD=13,AD∶DB=2∶1,在图2中,AF⊥FC,AF⊥BF,又BF∩FC=F,∴AF⊥平面BCF,由①知平面GDE∥平面BCF,∴AF⊥平面GDE.在等边三角形ABC中,AF=32AB=32,∴FG=13AF=36,DG=23BF=23×12=13=GE,-4-∴S△DGE=12DG·EG=118,∴VFDGE=13S△DGE·FG=3324.[答案](1)C线面垂直问题的常见类型及解题策略(1)与命题真假判断有关的问题.解决此类问题的方法是结合图形进行推理,或者依据条件举出反例否定.(2)线面垂直的证明.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的探索性问题.此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解方法(见本章第三节的[通关锦囊]).如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°.G为线段PC上的点.(1)证明:BD⊥平面APC;(2)若G满足PC⊥平面BGD,求PGGC的值.解:(1)证明:设点O为AC,BD的交点.由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.所以O为AC的中点,BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,所以PA⊥BD.又AC∩PA=A,AC平面APC,PA平面APC,所以BD⊥平面APC.(2)连接OG.因为PC⊥平面BGD,OG平面BGD,所以PC⊥OG.在Rt△PAC中,得PC=15.所以GC=AC·OCPC=2155.从而PG=3155,所以PGGC=32.考点二面面垂直的判定与性质[例2](2014·宜春模拟)-5-如图,四棱锥PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:(1)CE∥平面PAD;(2)平面EFG⊥平面EMN.[自主解答](1)法一:取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=12AB.又AB∥CD,CD=12AB,所以EH∥CD,EH=CD,因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH平面PAD,CE⊄平面PAD,所以CE∥平面PAD.法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=12AB.又CD=12AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD,AD平面PAD,所以CF∥平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD,PA平面PAD,所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF,所以CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB,所以MN⊥平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.【互动探究】在本例条件下,证明:平面EMN⊥平面PAC.证明:因为AB⊥PA,AB⊥AC,且PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD,CD∥AB,所以MN∥AB,所以MN⊥平面PAC.又MN平面EMN,所以平面EMN⊥平面PAC.【方法规律】面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面,在不是很复杂的题目中,要对此进行证明.-6-如图所示,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.求证:(1)EF∥平面A1CD;(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.证明:(1)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1,连接ED,在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE=12AC,且DE∥AC.又F为A1C1的中点,所以A1F=12A1C=12AC,且A1F∥A1C1∥AC,所以A1F=DE,且A1F∥DE,即四边形A1DEF为平行四边形,所以EF∥DA1.又EF⊄平面A1CD,DA1平面A1CD,所以EF∥平面A1CD.(2)由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,又侧棱A1A⊥底面ABC,CD平面ABC,所以AA1⊥CD,又AA1∩AB=A,因此CD⊥平面A1ABB1,而CD平面A1CD,所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.考点三垂直关系的综合应用[例3]如图所示,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=12AB,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD;(2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥EBCF的体积;(3)证明:EF⊥平面PAB.[自主解答](1)证明:由于AB⊥平面PAD,PH平面PAD,故AB⊥PH.又∵PH为△PAD中AD边上的高,∴AD⊥PH.∵AB∩AD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD.(2)由于PH⊥平面ABCD,E为PB的中点,PH=1,故E到平面ABCD的距离h=12PH=12.又∵AB∥CD,AB⊥AD,∴AD⊥CD,故S△BCF=12·FC·AD=12×1×2=22.-7-因此VEBCF=13S△BCF·h=13×22×12=212.(3)证明:过E作EG∥AB交PA于G,连接DG.由于E为PB的中点,所以G为PA的中点.∵AD=PD,∴DG⊥PA.∵AB⊥平面PAD,DGPAD,∴AB⊥DG.又∵AB∩PA=A,ABPAB,PAPAB,∴DG⊥平面PAB.又∵GE∥12AB,GE=12AB,DF∥12AB,DF=12AB∴GE∥DF.GE=DF.∴四边形DFEG为平行四边形,故DG∥EF.∴EF⊥平面PAB.【方法规律】垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题.一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题.求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题.在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱),AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.求证:(1)B1C∥平面A1BD;(2)B1C1⊥平面ABB1A1.证明:(1)
本文标题:【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)垂直关系 理 北师大版
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