第四章分层随机抽样

第四章分层随机抽样4.1概述4.1.1分层抽样（stratifiedsampling)、分层随机抽样(stratifiedrandomsampling)：分层抽样：将容量为N的总体分成L个不相重叠的子总体，子总体的大小分别为N1、N2、…NL，皆已知，且每个子总体就称为层。从每层中独立地进行抽样，这样的抽样方法称为分层抽样。分层随机抽样：在分层抽样中，如果每层中的抽样都是简单随机抽样，则这样的分层抽样称为分层随机抽样。NNLhh14.1.2分层抽样的适用场合：（1）不仅需要估计总体参数，也需要估计各层参数。（2）便于管理，按现成的地理分布或行政划分来分层。（3）希望样本中能包含各个部分，以增加代表性。（4）把一个内部差异很大的总体分成几个内部比较相似的子总体（层）进行分层抽样，可以提高估计量的精度。如果有极端值，也可以把它们分离出来形成一层。即“层间方差大，层内方差小”。4.2简单估计量及其性质对总体均值或总值的估计：层权hhWNN/LhhL，，，表示层的编号，层，以设总体分为21nnnnnNNNNNLihLLihL1111，，）样本（，，）总体（hhhhhhnihhihhNihhihhnihihhNihihhnihihNihihyynsYYNSynyYNYyyYYhh1221221111111111）（）（层样本第层总体第hhNhnhihhhhihhyyynhYYYNh，，，，个样本单元：层样本有第，，，，个总体单元：层有总体第11一、分层抽样中LhhhhYYYNYh1ˆˆ，层，都有若对任一层，假设为第LhhhLhhLhhhLhhYVNYVYVYNYY12111ˆˆˆˆˆˆ)1(）（）（）（方差LhhhstLhhhLhhhLhhstYVWYVYWYNNNYY12111)ˆ(ˆˆˆˆˆ)2(）（方差LhhhhhLhhhststSnfWyVWyVy122121）（）（的方差为ststLhhhLhhhststyYyWYWyYY记为为：的无偏简单估计ˆ,ˆˆ.111）的无偏估计。（且为的估计：的方差yVsnfWyvyVYhLhhhhstst2121)()(ˆhhyY的简单估计为则分层随机抽样ˆ,)(),(12121ststststysuyysuyY的置信区间为：的置信度为LhhhhhLhhhLhhLhhhLhhhLhhSnfNyVNYVYVyNYNYYY1221211111ˆˆˆˆˆ.2）（）（）（方差的估计：总体总和2121)()(ˆhLhhhhststsnfWyvyVY的无偏估计：的方差例4.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出层居民户总数样本户奶制品年消费支出1234567891012001040011015104080900240050130608010055160851601703750180260110014060200180300220415005035150203025103025解：2096502415001657501054005.39200ˆ)1(1LhhhyNY23208)ˆ()ˆ(1039.51)()ˆ()ˆ(ˆ)2(8212YvYssnfNyNvYvYVYhLhhhhst的估计：的方差333.19324556.8205165667.2166105722.16245.39244233222211sysysysy：各层样本均值及方差为（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的置信区间为255138164162)ˆ(ˆ),ˆ(ˆ2121，YsuYYsuY例4.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户，调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差为2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信区间。解：34.1421)()(2122hhhhhststsnfWyvys39.10585985617198014842015180171980235602211yWyWyst54.1081924.10351,34.142645.139.1058590%，即的置信区间为：信度为全市年平均户收入的置3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计stLhhhLhhhstpPpWPWpP记为的简单估计为ˆ,ˆ11，则的简单估计为设hhpPLhhhststpVWpVp12）（）（的方差LhhhhhSnfW1221LhhhhhhhhQPNNnfW1211很大时）当hLhhhhhhNQPnfW(112估计的性质（1）（2）的无偏估计。且是的简单估计为的性质：stLhhhststppWpPp1很大时）当）（）（的方差hLhhhhhhLhhhhhhhhLhhhststNQPnfWQPNNnfWpVWpVp(111121212）的无偏估计。（且为的估计：的方差stLhhhhhhstststpVqpnfWpvpVp1211)()()3()(),(1)4(2121ststststpsuppsupP的置信区间为：的置信度为LhhhLhhhLhhhLhhhpVNPVNAVApNPNA121211ˆˆˆˆˆ.4）（）（）（的方差例：在某行业技术人员中，按年龄分层，调查会使用计算机者所占的比例。数据如下：试估计总体中会计算机者占的比例。层人数入样人数样本中会使用计算机的人数30岁以下7781712430~35岁7497681236~40岁9779892241~45岁4627421145岁以上5366504总计35050320解：2286.0)1(51hhhstpWp000534.01)1()1()()2(512hhhhhhstnppfWpv%39.27%,33.18)(,)(%95)3(2121ststststpvuppvupP的置信区间为：置信度为4.3各层样本量的分配在分层随机抽样中，假设样本量n固定LhhhLhhhhhLhhhhstNSWnSWSnfWyVY121222121)(ˆ的方差：LhhhnccC10，则总费用为：考虑简单线性费用函数1.比例分配：指按各层层权（各层单元数占总体单元数的比例）进行分配。lhhhhhpropSnfWyV1221)(hhhWNNnnLhhhpropyWy1则：fNnNnfhhhhinihLhhhynNN111hinihLhhhynnn111yynLhnihhi111lhhhhSnWfW1221lhhhwwlhhhSWSSnfSWnf122212,11权平均。为各层方差按层权的加其中例：假设某公司欲估计某类产品的用户的每年平均支出。企划人员拟就整个潜在用户的名单，共8000户。采用分层随机抽样抽取样本200户，求按比例分配时各层样本量。层每层中的潜在用户少用2000中等4000多用2000总和N=8000。、、各层样本量分别为50100505080002000100200800040003322nWnnWn502008000200011nWn解：例.某电视台要在某地区的住户中,调查该台的晚间新闻的收视率。该地区包括3个县,共有67401家住户。假定该电视台采用分层随机抽样分别从三个县抽取住户，样本量为1500。每个县的总户数以及抽样数据列表如下：求该地区新闻收视率的95%的置信区间。县h每个县的户数Nh每个县被抽出的户数nh每个县的样本收视率ph1234810712419687510712761530.270.180.17合计N=67401n=1500解：分层随机抽样时，收视率P的估计为：011.0182.0150067401150011)()(182.083.017.067401687582.018.0674011241973.027.06740148107243.0231231231wststhhhhhhhwhhhstsnfpvpsqpWsWspWp收视率P的置信度为95%的近似置信区间为：即有95%的把握可以认为，该地区的新闻收视率在22.1%～26.5%之间。265.0,221.0011.096.1243.0)(21即ststpsp2.最优分配：LhhhTnccC10，则总费用为：考虑简单线性费用函数LhhhLhhhhhLhhhhstNSWnSWSnfWyVY121222121)(ˆ的方差：LhcSWcSWnnLhhhhhhhh,,2,1,//1样本量的最优分配为：：的方差达到最小值在最优分配中，)(ˆminstyVYLhhhLhhhhstNSWnSWyV122122min)(LhhhLhhhhLhhhhNSWncSWcSW12211)/)((LhhhLhhhhLhhhhhLhhhhhNSWnSWSNnWSnfWV12122122122h)11(1n，估计量的方差为对给定的证明：LhhhhLhhhnSWNSWVV12212L1hhh0nCCCTL1hhh0CnCCCT))((CVL1hhh122nCnSWLhhhh常数有的等式成立的条件是对所许瓦兹不等式根据柯西hhhhhabhbaba,)())((:22h221L1h2hh12)())((CVLhhhhLhhhhCSWnCnSW达到最小时即常数且当CV,K,)K(hhhhhhCSWnSWnCnSWnChhhhhhh))((L1h2hh12nCnSWLhhhhLhcSWcSWnnLhhhhhhhh,,2,1,//1样本量的最优分配为：：的方差达到最小值在最优分配中，)(ˆminstyVYLhhhLhhhhstNSWnSWyV122122min)(LhhhLhhhhLhhhhNSWncSWcSW1211)/)((hhh/KCSWnnhhh）时的最优分配。用相同（指每层抽取一个单元费分配：LhccNeymanh,,1,特例：hhhhhhststSWNSWnyVyVYNeyman222minmin11ˆ,）（）（）：（的方差达到最小值分配下在LhSWSWnnLhhhhhh,,2,1,1例.在例4.3中，样本量仍为n=550。城镇居民23560户，农村居民148420户。城镇居民与农村居民的年收入的标准差分别为S1=3000元,S2=2500元。对城镇居民与农村居民抽样平均每户的费用比为1：2，试求城镇与农村两层比例分配与最优分配的样本量。又若不考虑费用因素，那么最优分配的结果如何？7555017198023560111nWn）比例分配解：（43327.4335503.19366.1525//12